YaChudo

Поліформа

Переглядів: 0. Оновлено 24.10.2026.

20 «вільних» тетраронів — тривимірних поліформ, утворених з'єднанням 4 ромбододекаедрів[1][2]. Кількість «односторонніх» тетраронів дорівнює 28, через те, що 8 з 20 «вільних» тетраронів не можуть бути суміщені зі своїми дзеркальними копіями паралельним переносом і обертанням[3][4]

Поліфо́рма — плоска або просторова геометрична фігура, утворена шляхом об'єднання однакових комірок — многокутників або багатогранників. Зазвичай комірка являє собою опуклий многокутник, здатний замостити площину — наприклад, квадрат або правильний трикутник. Деякі види поліформ мають свої назви; наприклад, поліамант — поліформа, яка складається з рівносторонніх трикутників[5].

Першими поліформами, використаними в цікавій математиці, стали поліміно — зв'язні фігури, складені з клітин нескінченної шахової дошки[6][7]. Назва «поліміно» була вигадана Соломоном Голомбом в 1953 році і популяризована Мартіном Гарднером[8][9].

Поліформа, що складається з n комірок, може позначатися як n-форма. Для вказаного числа комірок в фігурі використовуються стандартні грецькі і латинські префікси моно-, до-, три-, тетра-, пента-, гекса- и т. д.[7]

Правила з'єднання

Правила з'єднання комірок можуть бути різними и повинні бути вказаними в конкретному випадку. Зазвичай розуміються наступні правила:

  • комірки поліформи не повинні перекриватися.
  • Дві сусідні многокутні комірки повинні мати спільне ребро або спільну площину (у просторі).
    • Якщо допустити, що сусідні комірки можуть мати лише спільний кут (на площині) або спільне ребро або вершину (у просторі), то поліформа називається псевдополіформою (англ. pseudopolyform, pseudo-n-form)[7].
    • Поліформа, що складається з довільних не зв'язаних між собою комірок на площині або в просторі, називається квазіполіформою (англ. quasipolyform, quasi-n-form)[7].

Симетрії

Фігури для гри

В залежності від того, чи дозволені обертання і дзеркальні відображення, розрізняються наступні типи поліформ[7][10]:

  • вільна (англ. free) або двостороння (англ. two-sided) поліформа — фігура, яку дозволено обертати і дзеркально відображати;
  • одностороння (англ. one-sided) поліформа — плоска фігура, яку дозволено лише обертати в площині, але не можна перевертати;
  • фіксована (англ. fixed) поліформа — фігура, яку не дозволено ні дзеркально відображати, ні обертати.

Види та застосування поліформ

Поліформи можуть використовуватися в іграх, головоломках, моделях. Однією з основних комбінаторних проблем, пов'язаною з поліформами, є перелік поліформ заданого виду. Іншою задачею є вкладання фігур із заданого набору (часто це всілякі поліформи певного виду, наприклад, 12 пентаміно) в задану область (у випадку пентаміно це можебути прямокутник 6×10).

Серед популярних головоломок і ігор, заснованих на поліформах — пентаміно, кубики сома, тетріс, деякі варіанти судоку.

Форма комірки (моноформа) Зв'язність фігури Поліформа
квадрат сторона поліміно (англ. polyomino)[7][10]
сторона, кут псевдополіміно[7][11]
поліплет (англ. polyplet)[12]
правильний трикутник сторона поліамант (англ. polyiamond, polyamond)[7][13]
правильний шестикутник сторона полігекс (англ. polyhex)[7][14]
куб грань полікуб (англ. polycube)[7][15]
трикутник 45-45-90 сторона поліаболо (англ. polyabolo)[16]
трикутник 30-60-90 сторона полідрафтер (англ. polydrafter)[17]
квадрат
(в тривімірному просторі) 		ребро (90°, 180°) поліміноїд (англ. polyominoid)
ромбододекаедр грань полірон (англ. polyrhon)[1][2]
відрізок кінец (90°, 180°) полістік (англ. polystick)[18]
5 тетраміно на квадратному паркеті порядка 5[19], зображених на диску Пуанкаре. «Евклідове» квадратне тетраміно 2×2 перетворюється в «гіперболічне» п'ятикутне пентаміно з видаленим квадратом; структура чотирьох інших тетраміно залишається незмінною[20]

Поліформи на гіперболічних паркетах

На евклідовій площині існує лише три правильні паркети — квадратний паркет, трикутний паркет і шестикутний паркет. На цих трьох паркетах розміщуються три найбільш «популярні» типа поліформ — поліміно, поліаманти і полігекси відповідно.

На гіперболічній площині існує нескінченна множина правильних паркетів, кожному з котрих відповідає щонайменше один тип поліформ. На паркетах, в кожній вершині котрих сходяться три многокутники, існує один тип поліформ — об'єднання многокутників, з'єднаних сторонами. На паркетах з чотирма та більше многокутниками, що сходяться у вершині, можна розглянути також аналоги псевдополіміно — фігури, що утворюються при з'єднанні вершин многокутників.

Відомості про кількість «гіперболічних» поліформ і складання з них фігур невеликі[21][20]. Так, на квадратному паркеті порядку 5[19] існує 1 мономіно, 1 доміно, 2 триміно (вони збігаються з «евклідовими» мономіно, доміно і триміно), 5 тетраміно[20]. На правильному семикутному паркеті порядку 3[22] існує 10 тетрагептів — фігур, що складаються з чотирьох зв'язаних семикутників[21], причому 7 з цих 10 тетрагептів можна вкласти на евклідовій площині без перекриття семикутників[23].

Примітки

  1. ↑ а б George Sicherman Catalogue of Polyrhons [Архівовано 11 вересня 2015 у Wayback Machine.]
  2. ↑ а б Stewart T. Coffin. The Puzzling World of Polyhedral Dissections. Chapter 18: Puzzles Made of Polyhedral Blocks. Архів оригіналу за 20 жовтня 2015. Процитовано 17 травня 2015.
  3. ↑ OEIS A038172 [Архівовано 5 квітня 2015 у Wayback Machine.] Number of "connected animals" formed from n rhombic dodecahedra (or edge-connected cubes) in the face-centered cubic lattice, allowing translation and rotations of the lattice
  4. ↑ OEIS A038173 [Архівовано 5 квітня 2015 у Wayback Machine.] Number of "connected animals" formed from n rhombic dodecahedra (or edge-connected cubes) in the face-centered cubic lattice, allowing translation and rotations of the lattice and reflections
  5. ↑ Weisstein, Eric W. Polyform(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  6. ↑ Генри Э. Дьюдени. Кентерберийские головоломки, 1975, стр. 111–113
  7. ↑ а б в г д е ж и к л Голомб С. В. Полимино, 1975
  8. ↑ Гарднер М. Математические головоломки и развлечения, 1971. — Глава 12. Полиомино. — с.111—124
  9. ↑ Гарднер М. Математические новеллы, 1974. — Глава 7. Пентамино и полиомино: пять игр и серия задач. — с.81—95
  10. ↑ а б Weisstein, Eric W. Polyomino(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  11. ↑ Miroslav Vicher. Polyforms. Архів оригіналу за 11 вересня 2015. Процитовано 17 травня 2015.
  12. ↑ Weisstein, Eric W. Polyplet(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  13. ↑ Weisstein, Eric W. Polyiamond(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  14. ↑ Weisstein, Eric W. Polyhex(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  15. ↑ Weisstein, Eric W. Polycube(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  16. ↑ Weisstein, Eric W. Polyabolo(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  17. ↑ Weisstein, Eric W. Polydrafter(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  18. ↑ Weisstein, Eric W. Polystick(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  19. ↑ а б Квадратний паркет порядка 5 — правильний паркет на гиперболичній плщині, в кожній вершині котрого сходяться п'ять квадратів.
  20. ↑ а б в OEIS A119611 [Архівовано 5 квітня 2015 у Wayback Machine.] Number of free polyominoes in (4,5) tessellation of the hyperbolic plane
  21. ↑ а б Puzzle Zapper Blog Holy Hyperbolic Heptagons! [Архівовано 8 січня 2015 у Wayback Machine.]
  22. ↑ В кожній вершині семикутного паркету порядка 3 сходятся три правильних семикутника.
  23. ↑ George Sicherman Catalogue of Polyhepts [Архівовано 27 вересня 2015 у Wayback Machine.]

Література

  • Голомб С.В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М. : Мир, 1975.

Посилання

Джерело: стаття у Вікіпедії та історія редагувань (автори).