Полігекс

У розважальній математиці полігекс — поліформа на основі правильного шестикутника («гексагона»), побудована об'єднанням одного або кількох шестикутників. Конкретні форми називають за кількістю шестикутників: моногекс, дигекс, тригекс, тетрагекс тощо. Назву дав Девід Клернер, який їх досліджував.

Кожну окрему плитку та замощення полігексами можна намалювати на правильному шестикутному паркеті.

Правила з'єднання шестикутників можуть відрізнятися. Однак, загалом, застосовують такі правила:

1. Два шестикутники можна з'єднувати лише вздовж спільної сторони, причому спільною має бути вся її довжина.
2. Жодні два шестикутники не можуть перекриватися.
3. Полігекс має бути зв'язним. Конфігурації з незв'язаних базових шестикутників не відносять до полігексів.
4. Дзеркальне відбиття асиметричного полігекса не вважається окремим полігексом (полігекси «двосторонні»).

Усі полігекси з менш ніж п'яти шестикутників можуть утворювати принаймні одне правильне плоске замощення.

Крім того, плоскі замощення дигексами та прямими полігексами інваріантні відносно повороту на 180° або відбиття паралельно чи перпендикулярно до довгої осі дигекса (обертова симетрія 2-го порядку та відбивна симетрія 4-го порядку), а замощення шестикутниками та деякими іншими полігексами (наприклад, гексагексами з одним отвором) інваріантні відносно повороту на 60°, 120° або 180° (обертова симетрія 6-го порядку).

Крім того, шестикутник є гексиамантом, тому кожен із полігексів також є поліамантом. Також, оскільки рівносторонній трикутник складається з шестикутника і трьох менших рівносторонніх трикутників, можна накласти великий поліамант на будь-який полігекс, отримавши два поліамонди, що відповідають кожному полігексу. Це використовують як основу для нескінченного поділу шестикутника на все менші шестикутники (неповторне мозаїчне розбиття) або на шестикутники та трикутники.

Як і у випадку з поліміно, полігекси можна розглядати як вільні (якщо повороти та відбиття дають однакову форму), фіксовані (якщо різні орієнтації вважаються різними формами) та односторонні (де дзеркальні відбиття вважаються різними, але повернуті фігури вважаються ідентичними). Їх також можна розрізняти за наявністю отворів. Кількість вільних n-гексів для n = 1, 2, 3, … дорівнює 1, 1, 3, 7, 22, 82, 333, 1448, … (послідовність A000228 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS); кількість вільних полігексів з отворами визначається послідовністю  A038144; кількість вільних полігексів без отворів визначається за  A018190; кількість односторонніх полігексів визначається за  A006535; кількість фіксованих полігексів визначається за допомогою  A001207.^[1][2]

З полігексів аж до гексагексів, 2, а саме моногекс та гексагекс з отвором, мають 6-кратну обертову симетрію та відбиття (а отже, також 3-кратну та 2-кратну симетрію), 3 інші мають 3-кратне обертову симетрію (компактний тригекс, пропелерний тетрагекс та гексагекс у формі рівностороннього трикутника) та 3-кратну відбивну симетрію, 9 інших мають 2-кратну обертову та відбивну симетрію, 8 мають лише 2-кратну обертову, 16 мають лише 2-кратну відбивну, а інші 78 (більшість тетрагексів, пентагексів або гексагексів) — асиметричні. Мозаїки більшості полігексів із відбивною симетрією також інваріантні відносно ковзних відбиттів того ж порядку на довжину полігекса.

Є один моногекс. Він замощує площину, утворюючи правильну шестикутну мозаїку.

Є один вільний дигекс:

Існує 3 вільних та двосторонніх тригекси:

Існує 7 вільних двосторонніх тетрагексів. Їм надано назви (див. мал.): стрижень, черв'як, пістолет, пропелер, арка, бджола та хвиля.^[3]

Існує 22 вільних та двосторонніх пентагекси:

Існує 82 вільних двосторонніх гексагекси:

• Теселяція
• Теорія протікання
• Поліамант — мозаїки з рівносторонніх трикутників
• Поліміно — мозаїки з квадратів
• Поліциклічні ароматичні вуглеводні — вуглеводні, структура яких ґрунтується на полігексах