Ромбододекаедр

Ромбододекаедр (від «ромб», дав.-гр. δώδεκᾰ «дванадцять» і ἕδρα «сидіння») — дванадцятигранник, складений з однакових ромбів. У ромбододекаедра 14 вершин, 6 з яких є вершинами менших кутів 4 ромбів, а 8 — вершинами 3 ромбів при їхніх великих кутах. Гострий кут кожного ромба $\arccos {\frac {1}{3}}\approx 70{,}53^{\circ }$ , а тупий $\approx 109{,}47^{\circ }$ . Іншими словами: відношення більшої діагоналі ромба до меншої дорівнює ${\sqrt {2}}$ . Однаковими ромбододекаедрами можна заповнити тривимірний простір без проміжків і накладень. Взаємне розташування площин граней ромбододекаедра називають ромбічним (при октаедричній симетрії) (і так само називають положення самих граней). Таке ж положення мають, наприклад, 12 з 18 квадратних граней ромбокубооктаедра.

Ромбододекаедр можна зібрати з двох рівних кубів, розрізавши один з них на 6 однакових пірамід, квадратні основи яких — 6 граней куба, а вершини збігаються з його центром, і потім приклавши ці піраміди до 6 граней іншого куба.^[1]

Площа поверхні і об'єм ромбододекаедра

Площа поверхні і об'єм ромбододекаедра обчислюється за формулами:^[2]

S=8{\sqrt {2}}a^{2}\approx 11,314a^{2}

,

V={\frac {16{\sqrt {3}}}{9}}a^{3}\approx 3,079a^{3}

.

Як багатогранник, що заповнює простір

Ромбічний додекаедр як паралеледр

Ромбічний додекаедр може мозаїчно розбивати простір за допомогою трансляційних копій самого себе.

Кристал граната

Стільники можна отримати з альтернативної теселяції куба, доповнивши кожну грань кожного куба пірамідою.

Ромбічний додекаедр — це багатогранник, що заповнює простір, тобто його можна застосовувати до теселяного тривимірного простору: його можна складати, щоб заповнити простір, подібно до того, як шестикутники заповнюють площину. Він є паралелоедром, оскільки може заповнювати простір у вигляді стільників, у яких усі його копії зустрічаються гранню до грані^[3]. У більш загальному випадку, кожен парелелоедр є зоноедром, центрально симетричним багатогранником з центрально симетричними гранями^[4]. Як паралелоедр, ромбічний додекаедр можна побудувати з чотирма наборами по шість паралельних ребер^[3].

Ромбічний додекаедричний стільник (або додекаедр) — це приклад стільника, побудованого шляхом заповнення всіх ромбічних додекаедрів. Він дуальний до тетроктаедрильного або напівкубічного стільника та описується двома діаграмами Кокстера: і З симетрією D_3d його можна розглядати як витягнутий тригональний трапецоедр. Його можна розглядати як мозаїку Вороного гранецентрованої кубічної решітки. Це зона Бріллюена об'ємно-центрованих кубічних кристалів. Деякі мінерали, такі як гранат, утворюють ромбо-додекаедричний кристалічний габітус. Як зазначав Йоганн Кеплер у своїй книзі 1611 року про сніжинки (Strena seu de Nive Sexangula), медоносні бджоли використовують геометрію ромбо-додекаедрів для формування стільників з мозаїки комірок, кожна з яких являє собою шестикутну призму, увінчану половиною ромбо-додекаедра. Ромбічний додекаедр також зустрічається в елементарних комірках алмазу та діамантоїдів. У цих випадках чотири вершини (черговані трикратні) відсутні, але хімічні зв'язки лежать на решті ребер^[5].