SL(2,R)

У математиці, спеціальна лінійна група ${\displaystyle \mathrm{SL}(2,ℝ)}$ або ${\displaystyle {\mathrm{SL}}_2(ℝ)}$ — це група дійсних ${\displaystyle :2\times 2}$ матриць, з детермінантом ${\displaystyle 1}$:

${\displaystyle \mathrm{SL}(2,ℝ)=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right):a,b,c,d\in ℝ\text{і}ad-bc=1\}.}$

Це зв'язна некомпактна проста дійсна група Лі, яка має застосування у геометрії, топології, теорії представлень і фізиці.

${\displaystyle \mathrm{SL}(2,ℝ)}$ діє на комплексній верхній півплощині шляхом дробово-лінійних  перетворень. Дія групи виражається через факторгрупу ${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,ℝ)}$ (${\displaystyle 2\times 2}$ спеціальна проєктивна група над ${\displaystyle ℝ}$). Більш конкретно,

${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,ℝ)=\mathrm{SL}(2,ℝ)/\{\pm I\}}$,

де ${\displaystyle I}$ — ${\displaystyle 2\times 2}$ одинична матриця. Вона містить модулярну групу ${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})}$.

Також тісно пов'язаною структурою є 2-кратна покривна група ${\displaystyle \mathrm{Mp}(2,ℝ)}$, або метаплектична група (вважаючи ${\displaystyle \mathrm{SL}(2,ℝ)}$ симплектичною групою).

Інша пов'язана група це ${\displaystyle {\mathrm{SL}}^{\pm }(2,ℝ)}$, група дійсних ${\displaystyle 2\times 2}$ матриць з детермінантом ${\displaystyle \pm 1}$; вона є більш загальновживаною у контексті модулярних груп.

${\displaystyle \mathrm{SL}(2,ℝ)}$ це група всіх лінійних перетворень у ${\displaystyle {ℝ}^{\mathrm{𝟚}}}$, яка зберігає орієнтацію. Вона ізоморфна  симплектичній групі ${\displaystyle \mathrm{Sp}(2,ℝ)}$і спеціальній унітарній групі ${\displaystyle \mathrm{SU}(1,1)}$.Також вона є ізоморфною групі одиничних кватерніонів. Група ${\displaystyle {\mathrm{SL}}^{\pm }(2,ℝ)}$ не зберігає орієнтацію, оскільки у деяких випадках вона може бути змінена на протилежну.

Факторгрупа ${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,ℝ)}$ допускає декілька цікавих означень:

• Це група проєктивних перетворень на дійсній проєктивній прямій ${\displaystyle ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}}$, що зберігає орієнтацію.
• Це група конформних автоморфізмів одиничного круга.
• Це група ізометрій гіперболічної площини, що зберігає орієнтацію.
• Це обмежена група Лоренца тривимірного простору Мінковского. Еквівалентно, це група, яка ізоморфна невизначеній ортогональній групі ${\displaystyle {\mathrm{SO}}^{+}(1,2)}$. З цього випливає, що ${\displaystyle \mathrm{SL}(2,ℝ)}$ ізоморфна спінорній групі ${\displaystyle \mathrm{Spin}(2,1{)}^{+}}$.

Елементи модулярної групи ${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})}$ мають додаткові інтерпретації, так само, як і елементи групи ${\displaystyle \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})}$ (як лінійні перетворення тора), на ці інтерпретації можна дивитися з точки зору загальної теорії групи ${\displaystyle \mathrm{SL}(2,ℝ)}$.

Елементи ${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,ℝ)}$ є проєктивними перетвореннями на дійсній проєктивній прямій ${\displaystyle ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}}$:

${\displaystyle [x,1]⟼[x,1]\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=[ax+b,cx+d]=[\frac{ax+b}{cx+d},1].}$

Ці проєктивні перетворення утворюють підгрупу групи ${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,ℂ)}$, яка діє на сферу Рімана шряхом перетворень Мебіуса.

Якщо дійсна пряма розглядається границею гіперболічної площини, то ${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,ℝ)}$ описує гіперболічні рухи.

Елементи групи ${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,ℝ)}$ діють на комплексній площині шляхом перетвореннь Мебіуса:

${\displaystyle z⟼\frac{az+b}{cz+d}(\text{де}a,b,c,d\in ℝ)}$.

Це в точності множина перетворень Мебіуса, яка зберігає верхню півплощину. З цього випливає, що ${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,ℝ)}$ є групою конформних автоморфізмів верхньої півплощини. Відповідно до теореми Рімана про відображення, вона також є групою конформних автоморфізмів одиничного круга.

Дані перетворення Мебіуса діють як ізометрії моделі верхньої півплощини гіперболічного простору, а відповідні перетворення Мебіуса на крузі є гіперболічними ізометріями моделі Пуанкаре.

Формула вище також може бути використана для визначення перетворень Мебіуса для дуальних і подвійних чисел. Відповідні геометрії мають нетривіальні зв'язки^[1] з гіперболічна геометрією.

Група ${\displaystyle \mathrm{SL}(2,ℝ)}$ діє на свою алгебру Лі ${\displaystyle 𝔰𝔩(2,ℝ)}$ шляхом спряженості (важливо пам'ятати, що елементи алгебри Лі також є ${\displaystyle 2\times 2}$ матрицями), утворюючи при цьому точне тривимірне лінійне представлення групи ${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,ℝ)}$. Це також можна описати як дію групи на простір квадратичних форм у ${\displaystyle {ℝ}^{\mathrm{𝟚}}}$. Як результат матимемо наступне представлення:

${\displaystyle \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]⟼\left[\begin{array}{ccc}{a}^2& 2ab& b^2\\ ac& ad+bc& bd\\ c^2& 2cd& d^2\end{array}\right]}$.

Форма Кіллінга алгебри ${\displaystyle 𝔰𝔩(2,ℝ)}$ має сигнатуру ${\displaystyle (2,1)}$ і встановлює ізоморфізм між групою ${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,ℝ)}$ і групою Лоренца ${\displaystyle {\mathrm{SO}}^{+}(2,1)}$. Така дія групи ${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,ℝ)}$ на простір Мінковського обмежується до ізометричної дії групи ${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,ℝ)}$ на гіперболоїдну модель гіперболічної площини.

Власні значення елемента ${\displaystyle A\in \mathrm{SL}(2,ℝ)}$ задовольняють характеристичний многочлен

${\displaystyle {\lambda }^2-\mathrm{tr}(A)\lambda +1=0}$,

звідси

${\displaystyle \lambda =\frac{\mathrm{tr}(A)\pm \sqrt{\mathrm{tr}(A{)}^2-4}}{2}}$.

Це приводить до наступної класифікації елементів, з відповідною дією на Евклідову площину:

• Якщо ${\displaystyle |\mathrm{tr}(A)|<2}$, то ${\displaystyle A}$ називається еліптичним і є спряженим до поворотів.
• Якщо ${\displaystyle |\mathrm{tr}(A)|=2}$, то ${\displaystyle A}$ називається параболічним і є відображенням зсуву.
• Якщо ${\displaystyle |\mathrm{tr}(A)|>2}$, то ${\displaystyle A}$ називається гіперболічним і є відображенням стискання.

Назви відповідають класифікації конічних перетинів ексцентриситетом: якщо визначати ексцентриситет як половину абсолютного значення сліду (${\displaystyle ϵ=\frac{1}{2}\mathrm{tr}}$; ділення на 2 корегує ефект розмірності, у той час як абсолютне значення ігнорує коефіцієнти ${\displaystyle \pm 1}$, як і при роботі з групою ${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,ℝ)}$), тоді це приводить до наступних випадків: ${\displaystyle ϵ<1}$, еліптичний; ${\displaystyle ϵ=1}$, параболічний; ${\displaystyle ϵ>1}$, гіперболічний.

Одиничний елемент ${\displaystyle 1}$ і від'ємний одиничний елемент ${\displaystyle -1}$ (у випадку групи ${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,ℝ)}$ вони співпадають) мають слід ${\displaystyle \pm 2}$, і відповідно до класифікації, є параболічними елементами, хоча їх часто розглядають окремо.

Та сама класифікація використовується для груп ${\displaystyle \mathrm{SL}(2,ℂ)}$ і ${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,ℝ)}$(дійсне перетворення Мебіуса), з додатковими ``локсодромними'' перетвореннями, що відповідають комплексним слідам; аналогічні класифікації використовуються і щодо інших об'єктів.

Підгрупа, яка пов'язана з еліптичними (відповідно, параболічними або гіперболічними) елементами, а також ідентичністю і від'ємною ідентичністю називається еліптичною підгрупою (відповідно, параболічною підгрупою, гіперболічною підгрупою).

Це класифікація на підмножини, а не на підгрупи: множини не замкнені відносно множення (добуток двох параболічних елементів неповинен бути параболічним і т. ін.). Тим не менше, всі елементи розподіляються до однієї з трьох стандартних однопараметричних підгруп} (можливо домножені на ${\displaystyle \pm 1}$), як зазначено нижче.

З точки зору топології, оскільки слід є неперервним відображенням, еліптичні елементи (виключаючи ${\displaystyle \pm 1}$) є відкритими множинами, так само, як гіперболічні елементи (виключаючи ${\displaystyle \pm 1}$), у той час як параболічні елементи (включаючи ${\displaystyle \pm 1}$) є замкнутими множинами.

Власні значення еліптичного елемента є комплексними, а також комплексно спряженими значеннями на одиничному колі. Такий елемент є спряженим до повороту евклідового простору — вони можуть бути проінтерпретовані як повороти у можливому неортгональному базисі — а відповідний елемент групи ${\displaystyle \mathrm{PSL}(2,ℝ)}$ діє як (спряжений до) повороту гіперболічної площини і простору Мінковського.

Еліптичні елементи модулярної групи повинні мати власні значення ${\displaystyle \{\omega ,{\omega }^{-}\}}$, де ${\displaystyle \omega }$ це простий корінь з одиниці третього, четвертого або шостого степеня. Вони всі є елементами модулярної групи скінченного порядку, і на торі вони діють як періодичні дифеоморфізми.

Елементи із нульовим слідом інколи називають ``циркулярними елементами'' (за аналогією з ексцентриситетом), але це відбувається нечасто. Вони відповідають елементам з власними значеннями ${\displaystyle \pm i}$ і є спряженими до поворотів на ${\displaystyle 90^{\circ }}$, а також є квадратами до ${\displaystyle -I}$: вони є нетотожними інволюціями у групі ${\displaystyle \mathrm{PSL(2)}}$.

Еліптичні елементи включаються у підгрупу поворотів евклідової площини, спеціальну ортогональну групу ${\displaystyle \mathrm{SO(2)}}$; кут повороту є арккосинусом половини сліду, зі знаком, що визначається орієнтацією. (Поворот і його обернений є спряженими у групі ${\displaystyle \mathrm{GL(2)}}$, але не у групі ${\displaystyle \mathrm{SL(2)}}$.)

• Лінійна група
• Спеціальна лінійна група
• Проєктивна лінійна група
• Модулярна група
• ${\displaystyle \mathrm{SL}(2,ℂ)}$ (Перетворення Мебіуса)
• Проєктивне перетворення
• Група Фукса
• Таблиця груп Лі
• Дифеоморфізм Аносова