Підгрупа

Підгрупою групи G називається підмножина ${\displaystyle H}$ групи ${\displaystyle G}$, що сама є групою щодо операції, визначеної в ${\displaystyle G}$.

Підмножина ${\displaystyle H}$ групи ${\displaystyle G}$ є її підгрупою тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє такі умови:

1. містить добуток будь-яких двох елементів з ${\displaystyle H}$,
2. містить разом зі всяким своїм елементом ${\displaystyle h}$ обернений до нього елемент ${\displaystyle h^{-1}}$.

У разі скінченних і періодичних груп перевірка умови 2 є зайвою.

Еквівалентно ${\displaystyle H}$ є підгрупою, якщо виконується умова:

${\displaystyle \forall (x,y)\in H^{2},x*y^{-1}\in H}$

• Підмножина групи ${\displaystyle G}$, що складається з одного елементу ${\displaystyle 1}$, буде, очевидно, підгрупою, і ця підгрупа називається одиничною підгрупою групи ${\displaystyle G}$.
• Сама ${\displaystyle G}$ також є своєю підгрупою.
• Нехай G абелева група елементами якої є

${\displaystyle G=\left\{0,2,4,6,1,3,5,7\right\}}$

і груповою операцією є додавання за модулем 8. Її таблиця Келі має вигляд:

Ця група має дві власні підгрупи: J={0,4} і H={0,2,4,6}, де J є також підгрупою H. Таблиця Келі H є верхньою лівою чвертю таблиці Келі групи G. Група G є циклічною, як і її підгрупи.

• Сама група ${\displaystyle G}$ і одинична підгрупа називається невласними підгрупами групи G, всі інші підгрупи H власними.
• Перетин всіх підгруп групи ${\displaystyle G}$, що містять всі елементи деякої непорожньої множини ${\displaystyle M}$, називається підгрупою, породженою множиною ${\displaystyle M}$, і позначається ${\displaystyle <M>}$.
• Якщо ${\displaystyle M}$ складається з одного елемента ${\displaystyle a}$, то ${\displaystyle <a>}$ називається циклічною підгрупою елемента ${\displaystyle a}$.
• Якщо група ${\displaystyle G_{1}}$ ізоморфна деякій підгрупі ${\displaystyle H}$ групи ${\displaystyle G}$, то кажуть, що група ${\displaystyle G_{1}}$ може бути вкладена в групу ${\displaystyle G}$.

• Теоретико-множинний перетин будь-яких двох підгруп групи ${\displaystyle G}$ є підгрупою групи ${\displaystyle G}$.
• Теоретико-множинне об'єднання підгруп, взагалі кажучи, не зобов'язане бути підгрупою. Об'єднанням підгруп ${\displaystyle H}$ і ${\displaystyle K}$ називається підгрупа, породжена об'єднанням множин ${\displaystyle H\cup K}$.
• Нехай ${\displaystyle f:G\rightarrow G'\,}$ — гомоморфізм груп. Тоді якщо ${\displaystyle H\,}$ є підгрупою ${\displaystyle G\,}$, то ${\displaystyle f(H)\,}$ є підгрупою ${\displaystyle G'\,}$. Якщо ${\displaystyle H'\,}$ є підгрупою ${\displaystyle G'\,}$, то ${\displaystyle f^{-1}(H')\,}$ є підгрупою ${\displaystyle G\,}$.
• Якщо дані дві групи і кожна з них ізоморфна деякій власній підгрупі іншої, то звідси ще не слідує ізоморфізм самих цих груп.

• Підструктура (математика)
• Теорема Лагранжа (теорія груп)
• Нормальна підгрупа
• Характеристична підгрупа
• Центр групи
• Теорема Хайоша

• Ганюшкін О. Г., Безущак О. О. Теорія груп: Навчальний посібник. — Київ : ВПЦ "Київський університет", 2005.(укр.)
• Костарчук В.М., Хацет Б.І. Курс вищої алгебри. — К. : Рад. шк, 1964. — 511 с.(укр.)
• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)