Замкнута множина

За́мкнута множина́ — підмножина простору, доповненням до якої є відкрита множина.

Нехай дано топологічний простір ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$. Множина ${\displaystyle V\subset X}$ називається замкнутою відносно топології ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, якщо існує відкрита множина ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}},}$ така що ${\displaystyle V=X\setminus U.}$

• Весь простір ${\displaystyle X}$, а також порожня множина ${\displaystyle \emptyset }$ завжди замкнуті.
• Інтервал ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ замкнутий в стандартній топології на дійсній прямій, бо його доповнення відкрите.
• Множина ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$ замкнута в просторі раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, але не замкнута в просторі всіх дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Із аксіом означення топології випливає:

• перетин будь-якого набору замкнутих множин є замкнутою множиною
• об'єднання скінченної кількості замкнутих множин є замкнутою множиною

Інші властивості:

• множина може бути ні замкнутою ні відкритою одночасно, як наприклад напіввідкритий інтервал в ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle [a,b)}$ (при стандартній топології на ${\displaystyle \mathbb {R} }$)
• множина може бути і відкритою і замкнутою водночас — такими є всі підмножини в дискретній топології (де топологія — набір всіх підмножин даної множини)

• Відкрита множина
• Замикання (топологія)

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2026. — 2390 с.(укр.)
• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Жалдак М.І., Михалін Г.О., Деканов С.Я. Математичний аналіз. Функції багатьох змінних: Навчальний посібник. — К. : НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. — 430 с.(укр.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)