Теорія категорій

Теорія категорій — розділ математики, що вивчає властивості відношень між математичними структурами, незалежно від внутрішньої будови структур; абстрагується від множин та функцій до діаграм, де об'єкти сполучені морфізмами (стрілками).

Теорія категорій посідає центральне місце в сучасній математиці^[1], а також має застосування в інформатиці^[2] та теоретичній фізиці^[3][4]. Сучасне викладання алгебричної геометрії та гомологічної алгебри основане на теорії категорії. Поняття теорії категорій використане в мові функційного програмування Haskell.

Поняття категорія було введено в 1945 році. Своїм походженням теорія категорій завдячує алгебраїчній топології. Подальші дослідження виявили об'єднувальну та уніфікувальну роль поняття категорія і пов'язаного з ним поняття функтора для багатьох розділів математики.

Теоретико-категорний аналіз основ теорії гомології привів до виділення у середині 50-х рр. 20 ст. так званих абелевих категорій, в рамках яких виявилося можливим здійснити основні побудови гомологічної алгебри. У 60-і рр. 20 ст. позначилася дедалі більша цікавість до неабелевих категорій, спонуканий задачами логіки, загальної алгебри, топології і алгебраїчної геометрії. Інтенсивний розвиток універсальної алгебри і аксіоматична побудова теорії гомотопій поклали початок різним напрямам досліджень: категорному дослідженню многовидів універсальної алгебри, теорії ізоморфізмів прямих розкладів, теорії зв'язаних функторів і теорії двоїстості функторів. Подальший розвиток виявив істотний взаємозв'язок між цими дослідженнями. Завдяки виникненню теорії відносних категорій, що широко використовує техніку зв'язаних функторів і замкнутих категорій, була встановлена двоїстість між теорією гомотопій і теорією універсальних алгебр, заснована на інтерпретації категорних визначень моноїда і комоноїда у відповідних функторів. Інший спосіб введення додаткових структур в категоріях пов'язаний із заданням в категоріях топології і побудові категорії пучків над топологічною категорією (так зв. топоси).

Категорія ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ складається з класу ${\displaystyle {\text{Ob}}_{\mathcal {C}}}$, елементи якого називаються об'єктами категорії, та класу ${\displaystyle {\text{Mor}}_{\mathcal {C}}}$, елементи якого називаються морфізмами категорії. Ці класи повинні задовольняти такі умови:

1. Кожній впорядкованій парі об'єктів А, В зіставлено клас ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B)}$; якщо ${\displaystyle f\in {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B)}$, то А називається початком, або областю визначення морфізму f, а В — кінець, або область значень f.
2. Кожен морфізм категорії належить одному і лише одному класу ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B)}$.
3. У класі ${\displaystyle Mor_{\mathcal {C}}}$ заданий частковий закон множення: добуток морфізмів ${\displaystyle f\in {\text{Hom}}(A,B)}$ та ${\displaystyle g\in {\text{Hom}}(C,D)}$ визначено тоді і тільки тоді, коли В=С, він позначається ${\displaystyle g\circ f}$ і належить класу ${\displaystyle {\text{Hom}}(A,D)}$.
4. Справедливий закон асоціативності: ${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$ для будь-яких морфізмів, для яких дані добутки визначені.
5. У кожному класі ${\displaystyle {\text{Hom}}(A,A)}$ визначений такий морфізм ${\displaystyle id_{A}}$, що ${\displaystyle f\circ id_{A}=id_{B}\circ f=f}$ для ${\displaystyle f\in {\text{Hom}}(A,B)}$; морфізми ${\displaystyle id_{A}}$ називаються одиничними, тотожними, або одиницями.

Замітка: клас об'єктів звичайно не є множиною в сенсі аксіоматичної теорії множин. Категорія, в якій об'єкти складають множину, називається малою. Крім того, у принципі можливо (з невеликим виправленням визначення) розглядати категорії, в яких морфізми між будь-якими двома об'єктами також утворюють клас, або навіть велику структуру^[5].

• Set — категорія множин. Об'єктами є множини, морфізмами — відображення множин, а множення збігається з послідовним виконанням відображень.
• Top — категорія топологічних просторів. Об'єктами є топологічні простори, морфізмами — всі неперервні відображення топологічних просторів, а множення знову збігається з послідовним виконанням відображень.
• Group — категорія груп. Об'єктами є групи, морфізмами — всі гомоморфізми груп, а множення збігається з послідовним виконанням гомоморфізмів. За аналогією можна ввести категорію кілець і т. д.
• Vect_K — категорія векторних просторів над полем K. Морфізми — лінійні відображення векторних просторів.
• Rel — категорія бінарних відношень множини; клас об'єктів цієї категорії збігається з класом об'єктів Set, а морфізмами множини А в множину В є бінарні відношення цих множин, тобто всілякі підмножини декартового добутку А×В; множення збігається з множенням бінарних відношень.
• Моноїд є категорією з одним об'єктом, навпаки, кожна категорія, що складається з одного об'єкта, є моноїдом.
• Для будь-якої частково впорядкованої множини можна побудувати малу категорію, об'єктами якої є елементи множини, причому між елементами x і y існує єдиний морфізм тоді і тільки тоді, коли x≤y (зрозуміло, слід відрізняти цю категорію від категорії частково впорядкованих множин).

Всі перелічені вище категорії допускають ізоморфне вкладення в категорію множин. Категорії з такою властивістю називаються конкретними. Не всяка категорія є конкретною, наприклад, категорія, об'єктами якої є всі топологічні простори, а морфізмами — класи гомотопних відображень.

Стандартним способом опису тверджень теорії категорій є комутативні діаграми. Комутативна діаграма — це орієнтований граф, у вершинах якого знаходяться об'єкти, а стрілками є морфізми або функтори, причому результат композиції стрілок не залежить від вибраного шляху. Наприклад, аксіоми теорії категорій можна записати за допомогою діаграм:

Для категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ можна визначити двоїсту категорію ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$, у якій:

• об'єкти збігаються з об'єктами початкової категорії;
• морфізми одержуються «обертанням стрілок»: ${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(B,A)\simeq {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B)}$

Взагалі, для будь-якого твердження теорії категорій можна сформулювати подвійне твердження за допомогою звернення стрілок. Часто подвійне явище позначається тим же терміном з приставкою ко- (див. приклади далі).

Справедливий принцип двоїстості: твердження р істинно в теорії категорій тоді і тільки тоді, коли в цій теорії істинно двоїсте твердження р^*. Багато понять і результатів в математиці виявилися двоїстими один одному з точки зору понять теорії категорій: ін'єктивність і сюр'єктивність, многовиди і радикали в алгебрі і т. д.

• Морфізм ${\displaystyle f\in {\text{Hom}}(A,B)}$ називається ізоморфізмом, якщо існує такий морфізм ${\displaystyle g\in {\text{Hom}}(B,A)}$, що ${\displaystyle g\circ f=id_{A}}$ та ${\displaystyle f\circ g=id_{B}}$. Два об'єкти, між якими існує ізоморфізм, називаються ізоморфними. Зокрема, тотожний морфізм є ізоморфізмом, тому будь-який об'єкт ізоморфний сам собі.

• Морфізми, в яких початок і кінець збігаються, називають ендоморфізмами. Множина ендоморфізмів ${\displaystyle \ {\text{End}}(A)={\text{Hom}}(A,A)}$ є моноїдом щодо операції композиції з одиничним елементом ${\displaystyle \ id_{A}}$.

• Ендоморфізми, які одночасно є ізоморфізмами, називаються автоморфізмами. Автоморфізми будь-якого об'єкта утворюють групу автоморфізмів ${\displaystyle \ {\text{Aut}}(A)}$ по композиції.

• Мономорфізм — це морфізм ${\displaystyle f\in {\text{Hom}}(A,B)}$ такий, що для будь-яких ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in {\text{Hom}}(X,A)}$ з ${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}}$ випливає, що ${\displaystyle \ g_{1}=g_{2}}$.

Композиція мономорфізмів є мономорфізмом.

• Епіморфізм — це такий морфізм, що для будь-яких ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in {\text{Hom}}(B,X)}$ з ${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f}$ слідує ${\displaystyle \ g_{1}=g_{2}}$.

• Біморфізм — це морфізм, що є одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Будь-який ізоморфізм є біморфізмом, зворотне, взагалі кажучи, вірно не для всіх категорій.

Мономорфізм, епіморфізм і біморфізм є узагальненнями понять ін'єктивного, сюр'єктивного і бієктивного відображення відповідно.

Початковий (універсально відштовхуючий) об'єкт категорії — це такий об'єкт, з якого існує єдиний морфізм в будь-який інший об'єкт.

Якщо початкові об'єкти в категорії існують, то всі вони ізоморфні.

Двоїстим чином визначається термінальний (універсально притягуючий) об'єкт — це такий об'єкт, в який існує єдиний морфізм з будь-якого іншого об'єкта.

Приклад: У категорії Set ініціальним об'єктом є порожня множина ${\displaystyle \emptyset }$, термінальним — множина з одного елементу ${\displaystyle \{\cdot \}}$.

Приклад: У категорії Group ініціальний і термінальний об'єкт збігаються — це група з одного елементу.

• Добуток об'єктів ${\displaystyle X_{1}}$ та${\displaystyle X_{2}}$ — це об'єкт ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ з морфізмами ${\displaystyle \pi _{1}:X_{1}\times X_{2}\to X_{1}}$ та ${\displaystyle \pi _{2}:X_{1}\times X_{2}\to X_{2}}$ такими, що для будь-якого об'єкта ${\displaystyle Y}$ з морфізмами ${\displaystyle f_{1}:Y\to X_{1}}$ та ${\displaystyle f_{2}:Y\to X_{2}}$ існує єдиний морфізм ${\displaystyle f:Y\to X_{1}\times X_{2}}$ такий, що ${\displaystyle f\circ \pi _{1}=f_{1},\quad f\circ \pi _{2}=f_{2}}$.

Морфізми ${\displaystyle \pi _{1}:X_{1}\times X_{2}\to X_{1}}$ та ${\displaystyle \pi _{2}:X_{1}\times X_{2}\to X_{2}}$ називаються проєкціями.

• Дуально визначається кодобуток (пряма сума): ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$ об'єктів ${\displaystyle X_{1}}$ і ${\displaystyle X_{2}}$. Відповідні морфізми ${\displaystyle i_{1}:X_{1}\to X_{1}+X_{2}}$ та ${\displaystyle i_{2}:X_{2}\to X_{1}+X_{2}}$ називаються вкладеннями. Не зважаючи на свою назву, в загальному випадку вони можуть і не бути мономорфізмами.

Якщо добуток і кодобуток існують, то вони визначаються однозначно з точністю до ізоморфізму.

• У категорії Set прямий добуток A і B — це добуток в сенсі теорії множин ${\displaystyle A\times B}$, а пряма сума — диз'юнктне об'єднання ${\displaystyle A\sqcup B}$.
• У категорії Ring пряма сума — це тензорний добуток ${\displaystyle A\otimes B}$, а прямий добуток — сума кілець ${\displaystyle A\oplus B}$.
• У категорії Vect_K прямий добуток і пряма сума ізоморфні — це сума векторних просторів ${\displaystyle A\oplus B}$.

Фактор-категорія — конструкція, яка є аналогічною конструкції фактор-множини або фактор-алгебри. Нехай ${\displaystyle R}$ — довільна категорія, у класі морфізмів ${\displaystyle \mathrm {Mor} \,R}$ задане відношення еквівалентності ${\displaystyle \sim ,}$ яке задовільняє наступним умовам

• якщо ${\displaystyle \alpha \sim \beta ,}$ то кінці морфізмів ${\displaystyle \alpha }$ та ${\displaystyle \beta }$ співпадають;
• якщо ${\displaystyle \alpha \sim \beta ,\,\,\gamma \sim \delta }$ та добуток ${\displaystyle \alpha \gamma }$ визначений, то ${\displaystyle \alpha \gamma \sim \beta \delta .}$

Через ${\displaystyle [\alpha ]}$ позначається клас еквівалентності морфізму ${\displaystyle \alpha .}$ Фактор-категорією категорії ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ по відношенню еквівалентності називається категорія ${\displaystyle {\mathcal {R}}/\sim ,}$ у якої ті самі об'єкти, що й у ${\displaystyle {\mathcal {R}},}$ а для будь-якої пари об'єктів ${\displaystyle A,B}$ множина морфізмів ${\displaystyle \mathrm {Mor} (A,B)\in {\mathcal {R}}/\sim }$ складається з класів еквівалентності ${\displaystyle [\alpha ],}$ де ${\displaystyle \alpha :A\rightarrow B}$ у ${\displaystyle R;}$ добуток морфізмів ${\displaystyle [\alpha ],[\beta ]}$ визначається формулою ${\displaystyle [\alpha ][\beta ]=[\alpha \beta ].}$

Усяка мала категорія є фактор-категорії шляхів над підходячим орієнтованим графом.^[6]

Ядерна пара морфізму — узагальнення поняття еквівалентности, індукованого відображенням однієї множини у іншу. Морфізми ${\displaystyle \vartheta _{1},\vartheta _{2}:R\rightarrow A}$ категорії ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ є ядерною парою морфізму ${\displaystyle \alpha :A\rightarrow B,}$ якщо ${\displaystyle \vartheta _{1}\alpha =\vartheta _{2}\alpha }$ та якщо для пари довільних морфізмів ${\displaystyle \varphi ,\psi :X\rightarrow A,}$ для якої ${\displaystyle \varphi \alpha =\psi \alpha ,}$ існує такий єдиний морфізм ${\displaystyle \gamma :X\rightarrow R,}$ що ${\displaystyle \varphi =\gamma \vartheta _{1}}$ та ${\displaystyle \psi =\gamma \vartheta _{2}.}$

Функтори — відображення категорій, що зберігають структуру. Точніше

• (Коваріантний) функтор ${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ставить у відповідність кожному об'єктові категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ об'єкт категорії ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ і кожному морфізму ${\displaystyle f:A\to B}$ морфізм ${\displaystyle F(f):F(A)\to F(B)}$ так, що
  • ${\displaystyle F(id_{A})=id_{F(A)}\,}$ і
  • ${\displaystyle F(g)\circ F(f)=F(g\circ f)}$.

• Контраваріантний функтор, або кофунктор — це функтор з ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ у ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{op}}$, тобто «функтор, що перевертає стрілки».

Клас об'єктів не обов'язково є множиною у сенсі аксіоматичної теорії множин. Категорія ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, у якій об'єкти ${\displaystyle \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}}$ є множиною та морфізми ${\displaystyle Mor({\mathcal {C}})}$ є множиною, називається малою.

Нехай ${\displaystyle {\mathcal {F}}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {D} }$ — функтор з малої категорії у довільну. Шаром ${\displaystyle {\mathcal {F}}/d}$ функтора ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ над ${\displaystyle a\in \mathrm {Ob} \,\mathbb {D} }$ є категорія, об'єктами якої є пари ${\displaystyle (a,\alpha )}$ об'єктів ${\displaystyle a\in \mathrm {Ob} \,\mathbb {C} }$ та морфізмів ${\displaystyle \alpha :Sa\rightarrow d}$ категорії ${\displaystyle \mathbb {D} }$, а морфізмами ${\displaystyle (a,\alpha )\rightarrow (b,\beta )}$ між парами — трійки ${\displaystyle (f,\alpha ,\beta )}$ морфізмів ${\displaystyle f\in \mathbb {C} (a,b),\,\,a\in \mathbb {D} (Sa,d),\,\,\beta \in \mathbb {D} (Sb,\,\beta )}$ таких, що ${\displaystyle \beta \circ Sf=\alpha .}$ Двоїсто, ко-шаром ${\displaystyle d/S}$ називається категорія, яка складається з пар ${\displaystyle (a,\alpha )}$ об'єктів ${\displaystyle a\in \mathrm {Ob} \,\mathbb {C} }$ та морфізмів ${\displaystyle \alpha :d\rightarrow Sa,}$ у якій морфізмами ${\displaystyle (a,\alpha )\rightarrow (b,\beta )}$ є трійки ${\displaystyle (f,a\rightarrow b,\alpha ,\beta ),}$ які задовільняють співвідношенню ${\displaystyle Sf\circ \alpha =\beta .}$ Функтор ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{d}:d/S\rightarrow \mathbb {C} }$ (або, відповідно, ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{d}:S/d\rightarrow \mathbb {C} }$), який діє як ${\displaystyle (a,\alpha )\mapsto a}$ на об'єктах й як ${\displaystyle (f,\alpha ,\beta )\mapsto f}$ на морфізмах, називається забуваючим функтором.

Нехай ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ категорія та нехай ${\displaystyle \otimes :{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ — функтор, які називаються тензорним добутком. Категорія називається тензорною, якщо виконуються наступні умови:

1. Заданий деякий ізоморфізм функторів ${\displaystyle a:\otimes (\otimes \times 1)\rightarrow (1\times \otimes ).}$ Це значить, що для ${\displaystyle U,V,W,X\in {\mathcal {C}}}$ є ізоморфізм.
2. Виконується аксіома п'ятикутника: ${\displaystyle \forall \,\,U,V,W,X\in {\mathcal {C}}\quad \quad a_{U,V,W\otimes X}\circ a_{U\otimes V,W,X}=(1_{U}\otimes a_{V,W,X})\circ a_{U,V\otimes W,X}\circ a_{U,V,W\otimes 1_{X}}.}$
3. Є об'єкт ${\displaystyle I,}$ для якого задані натуральні ізоморфізми ${\displaystyle l:\otimes (I\times 1)\rightarrow 1}$ та ${\displaystyle r:\otimes (1\times I)\rightarrow 1.}$
4. Виконується аксіома трикутника:

${\displaystyle V,W\in {\mathcal {C}}\quad \quad (1_{V}\otimes l_{W})\circ a_{V,I,W}=r_{V}\otimes 1_{W}.}$

Наприклад, для трійок ${\displaystyle U,V,W\in {\mathcal {C}}}$ та ${\displaystyle f,g,h\in \mathrm {Mor_{\mathcal {C}}} }$ є такий ізоморфізм ${\displaystyle a_{U,V,W}:(U\otimes V)\otimes W\rightarrow U\otimes (V\otimes W)}$, що діаграма

є комутативною.^[7]

Володимир Гершонович Дрінфельд визначив квазі-трикутну моноїдальну категорію. Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ — категорія, об'єктами якої є ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-модулі, а ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(U,W)=\mathrm {Hom} _{\mathfrak {g}}(U,W)[[n]].}$ Це — ${\displaystyle C}$-лінійна адитивна категорія. Тепер нехай ${\displaystyle V_{1},V_{2},V_{3}\in {\mathfrak {C}}.}$ Розгляньмо гомоморфізм ${\displaystyle \theta :T_{3}[[\hbar ]]\rightarrow End(V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}),}$ який визначається формулою ${\displaystyle \theta (t_{ij}=\Omega _{ij})}$, і ${\displaystyle \Phi _{V_{1}V_{2}V_{3}}=\theta (\Phi ).}$ Тут ${\displaystyle \Phi }$ є морфізмом асоціативності (асоціатором Дрінфельда). Через ${\displaystyle \Omega }$ позначений елемент Казіміра. Через ${\displaystyle T_{3}[[\hbar ]]}$ позначені співвідношення шестикутника. Для довільних ${\displaystyle V_{1},V_{2}\in {\mathfrak {C}}}$ має місце тензорний добуток ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}.}$ Морфізм асоціативності ${\displaystyle \Phi _{V_{1}V_{2}V_{3}}}$ є елементом ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}((V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3},\,\,V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})).}$ Для ${\displaystyle V_{1},V_{2}\in {\mathfrak {C}}}$ визначмо також скручення ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{V_{1}V_{2}}:V_{1}\otimes V_{2}\rightarrow V_{2}\otimes V_{1}}$ формулою ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{V_{1}V_{2}}=s\circ \exp(\hbar \Omega /2),}$ де ${\displaystyle s}$ є перестановкою. Морфізми ${\displaystyle \Phi _{V_{1}V_{2}V_{3}},\,\,{\mathfrak {S}}_{V_{1}V_{2}}}$ визначають структуру квазі-трикутної категорії на ${\displaystyle {\mathfrak {S}}.}$ ^[8]

Функтором Сера триангульованої ${\displaystyle C}$-лінійної ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$-скінченної категорії ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ є коваріантний адитивний функтор ${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}},}$ який комутує із зсувами, якщо має місце автоеквівалентність ${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$ така, що мають місце біфункторіальні ізоморфізми

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(E,G)\cong D\mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(G,F(E)),}$

де ${\displaystyle D=\mathrm {Hom} _{C}(-,k),\,\,\,E,G\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {A}}.}$ Якщо функтор Сера існує, то він єдиний з точністю до ізоморфізму.

Для гладкого проективного многовиду ${\displaystyle M}$ розмірності ${\displaystyle n}$ й канонічного пучка ${\displaystyle \omega _{M}=\land ^{n}\Omega _{M}}$ класична двоїстість Сера

${\displaystyle H^{i}(M,{\mathfrak {F}})\cong D\,\,\mathrm {Ext} ^{n-i}({\mathfrak {F}},\omega _{M}),}$

де ${\displaystyle {\mathfrak {F}}\in \mathrm {coh} (M),}$ є наслідком того, що ${\displaystyle F=-\otimes \omega _{M}[n]}$ є функтором Сера на довільній категорії обмежених комплексів когерентних пучків ${\displaystyle D^{b}(\mathrm {coh} (M)).}$ Якщо на триангульованій ${\displaystyle C}$-лінійній ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$-скінченній категорії ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ є функтор Сера, то така категорія є категорією із двоїстістю Сера.

Нехай ${\displaystyle A}$ — скінченновимірна алгебра над ${\displaystyle C,}$ яка має скінченну гомологічну розмірність, ${\displaystyle {\mathcal {A}}=D^{b}(A-\mathrm {mod} )}$ — довільна категорія скінченновимірних лівих ${\displaystyle A}$-модулів. Наявні два функтори дуалізації, які переводять ${\displaystyle D^{b}(A-\mathrm {mod} )}$ у ${\displaystyle D^{b}(\mathrm {mor} -A)}$ (праві моулі), й навпаки:

${\displaystyle D^{b}(A-\mathrm {mod} ){\overset {\delta }{\rightarrow }}D^{b}(\mathrm {mod} -A){\overset {d}{\rightarrow }}D^{b}(A-\mathrm {mod} ),}$

${\displaystyle \delta (M^{*})=R\,\,\mathrm {Hom} _{A}(M^{*},A);\quad \quad d(M^{*})=\mathrm {Hom} _{C}(M^{*},C).}$

Тут ${\displaystyle \mathrm {mod} -A}$ — категорія скінченнопороджених модулів над скінченновимірною ${\displaystyle C}$-алгеброю ${\displaystyle A}$ глобальної розмірності. Композиція ${\displaystyle F=d\circ \delta }$ називається функтором Накаями й є функтором Сера у категорії ${\displaystyle {\mathcal {A}}=D^{b}(A-\mathrm {mod} ).}$

Тріагнульована ${\displaystyle C}$-лінійна ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$-скінченна категорія ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ називається категорією Калабі-Яу, якщо триангульований ${\displaystyle n}$-кратний функтор зсуву ${\displaystyle [n]}$ є функтором Сера. Найменше ${\displaystyle n\geq 0}$ називається розмірністю Калабі-Яу категорії ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ й позначається ${\displaystyle \mathrm {CYdim} ({\mathcal {A}}).}$ Якщо категорія ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ не є категорією Калабі-Яу, то ${\displaystyle \mathrm {CYdim} ({\mathcal {A}})=\infty .}$

Триангульовані категорії із двоїстістю Сера представляють інтерес тому, що на спадкових абелевих категоріях ${\displaystyle \mathbb {A} }$ Нетер є двоїстість Сера.^[9]

Мультикатегорією є набір об'єктів ${\displaystyle a,b,...,}$ стрілок ${\displaystyle f_{1},f_{2},...,}$ операція композиції визначається як у звичайній категорії. У звичайній категорії область визначення ${\displaystyle \mathrm {dom\,} f}$ — одиничний об'єкт, тоді як у мультикатегорії це скінченна множина об'єктів. Іншими словами, для звичайної категорії ${\displaystyle a\rightarrow b,}$ тоді як у мультикатегорії ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\...\\a_{k}\end{bmatrix}}\rightarrow b,\quad k\in \mathbb {N} .}$

• Категорія
• Теорія груп
• Лямбда-числення
• Категорія добутку
• Теорія топосів

• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and concrete categories. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
• Awodey, Steven (2006). Category Theory (Oxford Logic Guides 49). Oxford University Press.
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter (2004). Categorical foundations. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 97. Cambridge University Press.

• Категорій теорія [Архівовано 19 квітня 2016 у Wayback Machine.] // Енциклопедія сучасної України / ред. кол.: І. М. Дзюба [та ін.] ; НАН України, НТШ. — К. : Інститут енциклопедичних досліджень НАН України, 2001­–2026. — ISBN 966-02-2074-X.
• Category Theory and Haskell [Архівовано 13 грудня 2017 у Wayback Machine.]
• Category Theory for Programmers [Архівовано 27 червня 2018 у Wayback Machine.]