Вкладення

Вкладення у математиці — це спеціального вигляду відображення одного екземпляру деякої математичної структури у інший екземпляр того ж типу. А саме, вкладення деякого об'єкта ${\displaystyle X}$ у ${\displaystyle Y}$ визначається ін'єктивним відображенням, яке зберігає деяку структуру. Що означає «збереження структури», залежить від типу математичної структури, об'єктами котрої є ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$. У термінах теорії категорій відображення, яке «зберігає структуру», називають морфізмом.

Те, що відображення ${\displaystyle f:X\to Y}$ є вкладенням, часто позначають «стрілкою-парасолькою» таким чином: ${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y}$.

Для заданих ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$ може бути декілька можливих вкладень. У багатьох випадках існує стандартне (або «канонічне») вкладення — наприклад, вкладення натуральних чисел у цілі, цілих — у раціональні, раціональних — у дійсні, а дійсних — у комплексні. У таких випадках зазвичай задають область визначення ${\displaystyle X}$ з образом ${\displaystyle f(X)\subset Y}$, таку що ${\displaystyle X\subseteq Y}$.

Відображення топологічних просторів ${\displaystyle f:X\to Y}$ називається вкладенням ${\displaystyle X}$ у ${\displaystyle Y}$, якщо ${\displaystyle f:X\to f(X)\subset Y}$ — гомеоморфізм (на ${\displaystyle f(X)}$ розглядається топологія, індукована з ${\displaystyle Y}$). Кожне вкладення неперервне і ін'єктивне.

Для простору ${\displaystyle X}$ існує вкладення ${\displaystyle X\to Y}$ — топологічний інваріант. Ми можемо розрізняти два простори, якщо один з них можна вкласти у ${\displaystyle Y}$, а інший — ні.

Нехай${\displaystyle M,N}$ — гладкі многовиди та ${\displaystyle f:M\to N}$ — гладке відображення. Воно називається зануренням, якщодиференціал ${\displaystyle df}$ відображення ${\displaystyle f}$ всюди ін'єктивний. Гладке вкладення — це занурення, що є також вкладенням у вищенаведеному сенсі (тобто, гомеоморфізмом на свій образ).

Іншими словами, вкладення дифеоморфне своєму образу, і, зокрема, образ вкладення повинен бути підмноговидом. Занурення у свою чергу є локальним вкладенням (тобто, для кожної точки ${\displaystyle x\in M}$ існує окіл ${\displaystyle U\subset M,x\in U}$ такий, що ${\displaystyle f:U\to N}$ — вкладення).

У теорії кілець вкладенням називається ін'єктивний кільцевий гомоморфізм ${\displaystyle f\colon A\to B}$. Так як ${\displaystyle f(A)}$ є підкільцем кільця ${\displaystyle B}$, то вкладення ${\displaystyle f}$ встановлює ізоморфізм між кільцями ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle f(A)}$.

У теорії категорій немає задовільного визначення вкладення, яке підходило б до всіх категорій. Типові вимоги визначення вкладення довільної категорії такі: всі ізоморфізми є вкладеннями, композиція вкладень — вкладення, всі вкладення — мономорфізми, будь-який екстремальний мономорфізм — вкладення.

У конкретній категорії вкладення — це морфізм ƒ: A → B, який діє ін'єктивно на множинах-носіях і також є початковим морфізмом у такому сенсі: якщо g — функція з множини-носія об'єкта C у множину-носій A, і її композиція з ƒ є морфізмом ƒg: C → B, то g також є морфізмом.

Як завжди в теорії категорій, існує двоїсте поняття, відоме як фактор.

• Embedding of manifolds. Manifold Atlas Project. Архів оригіналу за 18 квітня 2016. Процитовано 9 квітня 2016.

• Занурення (топологія)
• Субмерсія
• Вкладення графа
• Одночасне вкладення графів