Нонаміно

Нонаміно (або 9-міно) — дев'ятиклітинні поліміно, або многокутники, складені з 9 рівних квадратів, з'єднаних сторонами.^[1][2]

Якщо не розрізняти фігури, одержувані одна з іншої поворотами та відбиттями, то існує 1285 нонаміно.^[1][2][3] Якщо домовитися розрізняти дзеркальні відбиття, число нонаміно зростає до 2500,^[4] а якщо розрізняти й повороти — то до 9910.^[5][6][7]

37 із 1285 нонаміно мають отвори.^[7][8] Одне з нонаміно має отвір у формі доміно; у поліміно менших розмірів зустрічаються лише одиничні отвори.

1285 двосторонніх нонаміно можна розбити на кілька підмножин за їхніми групами симетрії:^[6]

• 1196 нонаміно асиметричні — їхня група симетрії тривіальна;^[9]
• 38 нонаміно мають одну вісь симетрії, паралельну ребрам квадратного паркету, і їхня група симетрії складається з двох елементів — тотожного перетворення та відбиття;^[10]

• 26 нонаміно мають одну діагональну вісь симетрії, і їхня група симетрії також складається з двох елементів;^[11]

• 19 нонаміно мають центральну симетрію другого порядку, і їхня група симетрії складається з двох елементів — тотожного перетворення і повороту на 180°;^[12]

• 4 нонаміно мають дві взаємно перпендикулярні осі симетрії, паралельні сторонам поліміно; їхня група симетрій складається з чотирьох елементів — тотожного перетворення, двох відбиттів і повороту на 180°;^[13]

• 2 нонаміно мають чотири осі симетрії (дві паралельні сторонам поліміно та дві діагональні) та центральну симетрію четвертого порядку. Їхня група симетрій складається з 8 елементів.^[14]

На відміну від октаміно, серед нонаміно немає фігур із центральною симетрією порядку 4 або фігур із двома діагональними осями симетрії.

Отже, кількість двосторонніх або вільних нонаміно (фігур, які можна повертати і перекидати) дорівнює

${\displaystyle 1196+38+26+19+4+2=1285,}$

кількість односторонніх нонаміно (фігур, які можна повертати, але не можна перекидати) можна розрахувати так

${\displaystyle 1196\cdot 2+38\cdot 1+26\cdot 1+19\cdot 2+4\cdot 1+2\cdot 1=2500,}$

а число фіксованих нонаміно (фігур, які не можна ні повертати, ні перекидати) — за формулою

${\displaystyle 1196\cdot 8+38\cdot 4+26\cdot 4+19\cdot 4+4\cdot 2+2\cdot 1=9910.}$

Тільки одне нонаміно є многокутником, довжини всіх сторін якого рівні одиниці (до нонаміно цю властивість мають мономіно, X-пентаміно та одне з 369 октаміно).^[15][16]

1050 двосторонніх нонаміно (усі, крім 235, до яких входять і 37 «дірявих» нонаміно) можуть покрити площину;^[17][18][19] 1048 із цих 1050 нонаміно або задовольняють критерій Конвея самостійно, або здатні сформувати «латку» з двох копій нонаміно, яка відповідає критерій Конвея. Два виняткові нонаміно, які покривають площину, попри негативний результат перевірки за критерієм Конвея, показано на малюнку праворуч; 9 — найменше число, для якого в поліміно є подібні винятки.^[20]

37 нонаміно містять «отвори», тому з усіх 1285 нонаміно не можна скласти жодного прямокутника.^[1] Тим не менш, у 1972—1973 роках Д. Берд (David Bird) побудував кілька симетричних конфігурацій за допомогою всіх 1285 нонаміно; дві з них уміщувалися у квадраті 109 × 109.^[2][21] 2005 року Peter Esser побудував з усіх 1285 нонаміно п'ять конгруентних прямокутників 17 × 137, кожен з яких містив 12 симетрично розташованих отворів загальною площею 16 клітинок;^[22] він же побудував із 1248 однозв'язних нонаміно 16 прямокутників 18 × 39.^[22] Patrick Hamlyn побудував із 1248 однозв'язкових нонаміно 48 прямокутників 18 × 13; не виключена можливість побудови 96 однакових прямокутників.^[22]

Псевдополіміно — узагальнення поліміно, набір полів нескінченної шахівниці, які може обійти король^[1]. Існує 118 133 двосторонніх псевдононаміно,^[23] 235 456 односторонніх псевдононаміно^[24] та 940 982 фіксованих псевдононаміно.^[25]

• Голомб С.В.. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М. : Мир, 1975. — 207 с.
• Solomon W. Golomb. Polyominoes. — 2nd ed. — Princeton, New Jersey : Princeton University Press, 1994. — ISBN 0-691-02444-8.
• D. Hugh Redelmeier. Counting polyominoes: yet another attack // Discrete Mathematics : журнал. — 1981. — Т. 36 (24 жовтня). — С. 191–203. — DOI:10.1016/0012-365X(81)90237-5.
• Daniel A. Rawsthorne. Tiling complexity of small n-ominoes (n<10) // Discrete Mathematics : журнал. — 1988. — Т. 70 (24 жовтня). — С. 71–75. — DOI:10.1016/0012-365X(88)90081-7.
• Glenn C. Rhoads. Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds // Journal of Computational and Applied Mathematics : журнал. — 2005. — Т. 174, вип. 2 (24 жовтня). — С. 329–353. — DOI:10.1016/j.cam.2004.05.002.