Октаміно

Октаміно — восьмиклітинні поліміно, тобто плоскі фігури, що складаються з восьми рівних квадратів, з'єднаних сторонами. З фігурами октаміно, як і з усіма поліміно, пов'язано багато задач цікавої математики.

Якщо не вважати різними фігури, що збігаються при поворотах та дзеркальних відбиттях, то різних («вільних») форм октаміно налічується 369 (див. малюнок).^[1] Існує 704 види «односторонніх» октаміно (якщо дзеркальні відбиття вважати різними фігурами) та 2725 видів «фіксованих» октаміно (різними вважаються також і повороти).^[2]

369 вільних фігур октаміно за їхніми властивостями симетрії можна поділити на 8 категорій:

• 316 фігур октаміно (на малюнку зображені сірим кольором) асиметричні;
• 23 октаміно (зображені червоним) мають вісь симетрії, паралельну лініям квадратної сітки;
• 5 октаміно (зображені зеленим) мають діагональну вісь симетрії;
• 18 октаміно (зображені синім) мають центральну (обертальну) симетрію другого порядку;
• 1 октаміно (зображене жовтим) мають центральну (обертальну) симетрію четвертого порядку;
• 4 октаміно (зображені фіолетовим) мають дві осі симетрії, паралельні лініям сітки;
• 1 октаміно (зображене помаранчевим) має дві діагональні осі симетрії.
• 1 октаміно (зображене синьо-зеленим) має чотири осі симетрії — дві паралельні лініям сітки і дві діагональні.

Октаміно — найменший порядок поліміно, в якому реалізуються всі вісім можливих типів симетрії. Наступний порядок поліміно з цією властивістю — додекаміно (дванадцятиклітинне поліміно).

Якщо дзеркальні відображення фігур вважати різними, то кількості в першій, четвертій та п'ятій категоріях подвоюються, що додає 335 октаміно, тобто загалом 704 односторонніх октаміно.

Якщо повороти також розглядати як різні фігури, то

• фігури першої категорії можна орієнтувати вісьмома різними способами;
• фігури категорій від другої до четвертої — чотирма;
• фігури категорій від п'ятої до сьомої — двома;
• єдину фігуру з останньої категорії можна орієнтувати єдиним способом.

Це дає ${\displaystyle 316\times 8+(23+5+18)\times 4+(1+4+1)\times 2+1=2725}$ фіксованих октаміно.

Серед 369 вільних октаміно є 6 фігур з отворами («неоднозв'язні»). З цього випливає, що суцільне покрити будь-який прямокутник площею ${\displaystyle 369\times 8=2952}$ квадратів повним набором октаміно неможливо. Однак із них можна скласти деякі прямокутники площею 2958 квадратів із шістьма одноклітинними отворами. Оскільки число 2958 є добуток простих множників 2×3×17×29, то можна поставити питання про складання прямокутників 6×493, 17×174, 29×102, 34×87 та 51×58.

Для прямокутника 51×58 існує розв'язок із симетричним розташуванням отворів, наведений на малюнку. Існує також укладання октаміно в три прямокутники 29×34, кожен із двома отворами поблизу центру. Комбінуючи їх у різний спосіб, можна отримати прямокутник 34×87 або 29×102 зі симетричним розташуванням трьох пар отворів. Розв'язки для прямокутників 6×493 та 17×174 поки не відомі.^[коли?]

З 369 просторових октаміно, що мають форму звичайних «плоских» октаміно, можна зібрати паралелепіпед 8 × 9 × 41. Один із розв'язків використовує всі фігури, крім прямого октаміно, для складання восьми окремих шарів 1 × 9 × 41; пряме октаміно проходить крізь центри всіх восьми шарів.^[3]

Псевдополіміно — узагальнення поліміно, набір полів нескінченної шахівниці, які може обійти король.^[1] Існує 18 770 вільних (двосторонніх),^[4] 37 196 односторонніх^[5] та 147 941 фіксованих^[6] псевдооктаміно.

• Голомб С.В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М. : Мир, 1975. — 207 с. (рос.)