Метод Ейлера

В чисельних методах метод Ейлера — один з найпростіших методів чисельно розв'язувати звичайне диференціальне рівняння з заданим початковим значенням.

Розгляньмо задачу рисування графіка невідомої кривої, яка починається в даній точці і задовольняє дане диференціальне рівняння. Тут дифрівняння може розглядатись як формула для тангенса кута нахилу дотичної до кривої, що може бути обчисленим в кожній точці цієї кривої за координатами.

Ідея методу полягає в тому, що, хоча крива спочатку невідома, її початкова точка, яку ми позначимо ${\displaystyle A_{0},}$ відома (як на ілюстрації вгорі праворуч). Тоді, в цій точці можна обчислити нахил дотичної.

Тепер зробімо маленький крок вздовж дотичної до точки ${\displaystyle A_{1}}$. Якщо ми припустимо, що ${\displaystyle A_{1}}$ все ще на кривій (приблизно), тоді до неї можна застосувати ті ж міркування. Таким чином, ми отримаємо послідовність точок, що утворюють ламану, яка приблизно повторює криву.

Відхилення між отриманою ламаною можна зробити не надто великим, якщо робити короткі кроки вздовж дотичних і будувати криву на скінченному короткому інтервалі. Хоча для деяких рівнянь можуть виникати додаткові ускладнення.

Ми хочемо наблизити розв'язок наступної задачі початкових значень:

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\qquad \qquad y(t_{0})=y_{0},}$

використовуючи перші два доданки ряду Тейлора для y, які представляють лінійне наближення біля точки ${\displaystyle (t_{0},y(t_{0}))}$. Один крок методу Ейлера з ${\displaystyle t_{n}}$ до ${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$ проводиться так:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).\qquad \qquad }$

Метод Ейлера є явним, тобто розв'язок ${\displaystyle y_{n+1}}$ є явною функцією ${\displaystyle y_{i}}$ для ${\displaystyle i\leq n}$.

Хоча метод Ейлера працює для ЗДР першого порядку, будь-яке ЗДР порядку ${\displaystyle N}$ може бути представленим як ЗДР першого порядку додаванням ${\displaystyle N-1}$ додаткових змінних, ${\displaystyle y',\,y'',\,\ldots ,\,y^{(N)}}$, і створенням ${\displaystyle N}$ рівнянь першого порядку з цими змінними. Метод Ейлера можна застосовувати до вектора ${\displaystyle \mathbf {y} (t)=(y(t),y'(t),y''(t),...,y^{(N)}(t))}$ для інтегрування системи рівнянь вищих порядків.

Якщо припустити, що ${\displaystyle f(t)}$ і відповідно ${\displaystyle y(t)}$ відомі точно в момент ${\displaystyle t_{0}}$, тоді метод Ейлера дає приблизний розв'язок в момент ${\displaystyle t_{0}+h}$ як:

${\displaystyle y(t_{0}+h)=y(t_{0})+hf(t_{0},y(t_{0}))=y(t_{0})+hy'(t_{0})\,\qquad \qquad }$

(друга рівність зберігається тому що y задовольняє дифрівняння ${\displaystyle y'=f(t,y)}$). Розклад Тейлора для ${\displaystyle h}$ біля ${\displaystyle t_{0}}$ дає:

${\displaystyle y(t_{0}+h)=y(t_{0})+hy'(t_{0})+{\frac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+O(h^{3}).}$

Похибка методу Ейлера задається різницею між цими двома рівняннями:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+O(h^{3}).}$

Для маленьких ${\displaystyle h}$, домінуючий доданок похибки пропорційний ${\displaystyle h^{2}}$. Щоб розв'язати задачу на заданому проміжку ${\displaystyle t}$, необхідна кількість кроків, яка пропорційна до ${\displaystyle 1/h}$ тому можна очікувати, що загальна похибка на кінці інтервалу буде пропорційна ${\displaystyle h}$ (похибка за один крок, помножена на кількість кроків). З цієї причини, метод Ейлера називають методом першого порядку, і він є менш точним (для малих ${\displaystyle h}$) ніж методи вищих порядків, таких як метод Рунге-Кутти, чи метод Адамса.

Метод Ейлера може бути чисельно нестійким, особливо для жорстких рівнянь. Це обмеження, поряд з тим фактом, що він повільно збігається при зменшенні ${\displaystyle h}$, означає, що метод використовується нечасто, і хіба що як простий приклад чисельного інтегрування. Нестійкості можна уникнути, використовуючи алгоритм Ейлера-Кромера.

• Крижанівський С.Є. Диференціальні рівняння. — Х.: : ДНТВУ.НКТП, 1938. — 398 с.(укр.)
• Гудименко Ф. С. Диференціальні рівняння. — К. : Київ. держ. ун-т ім. Т.Г. Шевченка, 1958. — 206 с.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Калайда О. Ф. Диференціальні рівняння. — К. : Вища школа, 1981. — 504 с.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2026. — 2538 с.(укр.)
• Самойленко А. М.; Кривошея С.А.; Перестюк М. О. (1994). Диференціальні рівняння у прикладах і задачах (PDF). Київ: Вища школа. с. 455.
• Гаврилюк І.П., Макаров В.Л. Методи обчислень. Частина 1. — К. : Вища школа, 1995. — 367 с. — ISBN 5-11-004111-2.(укр.)
• М. Я. Лященко, М. С. Головань. Чисельні методи: Підручник. — К.: : Либідь, 1996. — 288 с.(укр.)
• Цегелик Г. Г. Чисельні методи. — Львів : ЛНУ, 2004. — 407 с.(укр.)
• John C. Butcher (2008). Numerical Methods for Ordinary Differential Equations (PDF). New York: John Wiley & Sons. с. 463. ISBN 978-0-471-96758-3.
• Ascher, Uri M.; Petzold, Linda Ruth. Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations. 1998. SIAM. ISBN 0898714125