Кубооктаедр

Кубооктаедр — напівправильний опуклий багатогранник, одне з тіл Архімеда, що володіє двома властивостями:

1. Всі грані є правильними багатокутниками (двох типів: правильні трикутники та квадрати);
2. Для будь-якої пари вершин існує симетрія багатогранника (тобто рух, що переводить багатогранник сам в себе), яка переводить одну вершину в іншу.

Складається з 14 граней (8 правильних трикутників та 6 квадратів).

Важливою ознакою багатогранника є те, що він має тільки два типи граней, причому кожна грань одного типу сусідня тільки з гранями іншого типу, тобто грані чергуються навколо кожної вершини. Ці багатогранники реберно-транзитивні, тому на крок ближче до правильних багатогранників, ніж напівправильні, які лише вершинно-транзитивні. Багатогранники, що мають цю властивість, називаються квазіправильними.^[1] Існує ще тільки один опуклий квазіправильний багатогранник — ікосододекаедр.

В кубооктаедрі 12 однакових вершин, в яких сходяться два трикутники і два квадрати, а також 24 однакових ребра, кожне з яких розділяє між собою трикутну і квадратну грані.

Двоїстий до кубооктаедра многогранник — ромбододекаедр.

Кубооктаедр можна отримати з куба або октаедра, застосувавши до них геометричну операцію «повне зрізання» ‒ процес зрізання багатогранника шляхом позначки середини всіх його ребер і відсічення всіх вершин аж до цих точок.

Наступна послідовність многогранників ілюструє утворення кубооктаедра:

Кубооктаедр з ребром ${\displaystyle a}$ є спільною частиною поєднанняя куба з ребром ${\displaystyle {\sqrt {2}}\cdot a}$ та октаедра з ребром ${\displaystyle 2\cdot a}$. При цьому кубооктаедр займає ${\displaystyle {\frac {5}{6}}}$ об'єму, що займає куб та ${\displaystyle {\frac {5}{8}}}$ об'єму, що займає октаедр.

Кубооктаедр можна розділити площиною на дві рівні частини. При цьому переріз матиме форму правильного шестикутника. Таких шестикутних перерізів кубооктаедр має чотири. При цьому утворюються два трисхилих купола — багатогранник Джонсона J3, повернені відносно один одного. Тому кубооктаедр також можна назвати скрученим трисхилим бікуполом.

При іншому екваторіальному перерізі кубооктаедра утворюється квадрат.

Кількість діагоналей опуклого багатогранника: ${\displaystyle {\binom {B}{2}}-P}$, де В — кількість вершин, Р — кількість ребер багатогранника. Для кубооктаедра:

${\displaystyle {\binom {12}{2}}-24={\frac {12}{2}}\cdot {\frac {11}{1}}-24=42}$ діагоналі (12 граневих та 30 просторових).

Плоскі кути граней при вершині: 60°, 90°.

Сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 300°.

Продовження граней кубооктаедра призводить до чотирьох зірчастих багатогранників:

• 
  Кубооктаедр
• 
  Перша зірчаста форма
• 
  Друга зірчаста форма
• 
  Третя зірчаста форма
• 
  Четверта зірчаста форма

Грані зірчастих форм кубооктаедра

• 
  Кубооктаедр
• 
  Перша зірчаста форма
• 
  Друга зірчаста форма
• 
  Третя зірчаста форма
• 
  Четверта зірчаста форма

Перша зірчаста форма виходить шляхом добудови на гранях кубооктаедра трикутних та чотирикутних пірамід і є сполукою куба та октаедра.

Наступна зірчаста форма утворена шляхом приєднання 24 біпірамід до сполуки куба та октаедра.

Третя зірчаста форма кубооктаедра є поєднанням шести прямих квадратних пірамід.

Остання зірчаста форма кубооктаедра є поєднанням зірки Кеплера (зірчастого октаедра) і трьох правильних чотирикутних призм, загальною частиною яких є вихідний куб.

Кубооктаедр має чотири спеціальних ортогональних проєкцій, що центровані по вершині, ребру та двох типах граней (трикутній та квадратній). Дві останні відповідають площинам Кокстера B₂ і A₂. Косі проекції показують квадрат і шестикутник, що проходять через центр кубоктаедра.

Граф кубооктаедра
4-fold symmetry
Вершин	12
Ребер	24
Радіус	3
Діаметр	3
Обхват	3
Автоморфізм	48
Хроматичне число	3
Властивості	Регулярний, планарний, гамільтонів, ейлерів, квадратичний, циклічний, вершинно-транзитивний, реберно-транзитивний, локально-лінійний

В теорії графів граф кубооктаедра — це один з архімедових графів, що має кістяк кубооктаедра.

Він має 12 вершин степеня 4 і 24 ребра.

Граф кубооктаедра — планарний локально лінійний граф, який можна утворити як реберний граф куба або приклеюванням антипризм у внутрішню та зовнішню грані 4-циклу. Також він є квадратичним та симетричним графом.^[2]

Граф кубооктаедра є цілим графом та має спектр ${\displaystyle Spec(G)=(-2)^{5}0^{3}2^{3}4^{1}}$

Має 200 гамільтонових циклів. Деякі з них:

{1 — 2 — 3 — 4 — 8 — 9 — 5 — 10 — 6 — 11 — 12 — 7 — 1}

{1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 9 — 10 — 6 — 11 — 7 — 12 ‒ 8 — 1}

{1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 10 — 6 — 11 — 7 — 12 — 9 ‒ 8 — 1}

Кубооктаедрами неможливо заповнити тривимірний простір без проміжків та накладень, тому що при змиканні квадратів залишається незайнятим простір у вигляді октаедра, а при змиканні трикутників — у вигляді кубів. Заповнити тривимірний простір без проміжків і накладень можна за допомогою кубооктаедрів та інших багатогранників, наприклад, октаедрів чи кубів.

• 
  Кубооктаедр + Октаедр
• 
  Кубооктаедр + Ромбокубоктаедр + Куб
• 
  Кубооктаедр + Зрізаний октаедр + Зрізаний тетраедр

Кубоктаедр можна отримати, взявши екваторіальний переріз чотиривимірних 24-комірника або 16-комірника.

Правильний ікосаедр топологічно ідентичний кубооктаедру з 6 квадратними гранями, розбитими по діагоналях.

Кубооктаедр має канонічно-двоїстий багатогранник. Середньовписані сфери канонічно двоїстої пари багатогранників співпадають. Для такого способу побудови — двоїстий багатогранник до двоїстого співпадає з початковим. Грань двоїстого будується методом Дормана Люка (метод діє лише для однорідних багатогранників).

Канонічно двоїстим багатогранником до кубооктаедра є Ромбододекаедр.

Має 12 граней: ромби з гострим кутом ${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)\approx 1.2309594rad\approx 70^{\circ }31'43.6057''}$ ; 24 ребер, 14 вершин.

Якщо ребро кубооктаедра дорівнює ${\displaystyle a}$, то ребро двоїстого ромбододекаедра дорівнює ${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {6}}}{8}}\cdot a\approx 0.91855\cdot a}$

• 
  Ромбододекаедр
• 
  Розгортка ромбододекаедра
• 
  Поєднання кубооктаедра та ромбододекаедра

Кубооктаедр належить до родини однорідних многогранників, пов'язаних з кубом та октаедром.

Кубоктаедр має повну октаедричну симетрію O_h, порядок 48. В цьому випадку його можна розглядати як повністю зрізаний октаедр або повністю зрізаний куб.

Кубоктаедр також має тетраедричну симетрію T_d, порядок 24 з двома кольорами трикутників. Його можна розглядати як кантельований тетраедр і можна назвати ромботетратетраедром:

Кубоктаедр також має симетрію D_3d, порядок 12. В цьому випадку його можна розглядати як трисхилий повернутий бікупол.

• Weisstein, Eric W. Кубооктаедр(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Пчелінцев В. О. Кристалографія, кристалохімія та мінералогія. Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів. Суми: Вид-во СумДУ, 2008, — 232с.
• Гордєєва Є. П., Величко В. Л. Нарисна геометрія. Багатогранники (правильні, напівправильні та зірчасті). Частина І. Навчальний посібник. Луцьк: Редакційно-видавничий відділ ЛДТУ, 2007, — 198с. [Архівовано 29 березня 2017 у Wayback Machine.]
• П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. Многоугольники и многогранники. Энциклопедия элементарной математики. Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963, — 568с.