Інтеграл Якобі

У небесній механіці інтеграл Якобі (також відомий як стала Якобі) є єдиною відомою величиною, що зберігається для обмеженої кругової задачі трьох тіл^[1]. На відміну від задачі двох тіл де енергія та імпульс кожного тіла системи, що входить до її складу, не зберігаються окремо; така задача не має загального аналітичного рішення. Оскільки гравітаційна сила є однаковою, повна енергія (гамільтоніан), лінійний момент та кутовий момент ізольованої системи трьох тіл зберігаються.

Він був названий на честь німецького математика Карла Густава Якоба Якобі.

Однією з релевантних систем координат, що використовується, є так звана синодична або обертова система координат. Вона розташована в барицентрі, з лінією, що поєднує дві маси μ₁, μ_{2 ,} які обрані як вісь х, а одиниця довжини рівна їх відстані. Оскільки система обертається одночасно з двома масами, вони залишаються нерухомими та розташовані на (−μ₂,0) і (+μ₁,0)^[a].

У системі координат (x, y) стала Якобі виражається наступним чином:

${\displaystyle C_{J}=n^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)-\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)}$

де:

• n =2π/T середній рух (орбітальний період T)
• μ₁ = Gm₁, μ₂ = Gm₂, для двох мас m₁, m₂ та гравітаційної сталої G
• r₁, r₂— відстані пробної частинки від двох мас

Зауважте, що інтеграл Якобі дорівнює подвоєній сумарній енергії на одиницю маси в обертовій системі відліку: перший член стосується відцентрової потенціальної енергії, другий гравітаційного потенціалу, а третій є кінетичною енергією. У цій системі відліку сили, які діють на частинку, є двома гравітаційними силами тяжіння: відцентровою силою та силою Коріоліса. Усі вони є консервативними, тому енергія, виміряна в цій системі відліку (і, отже, інтеграл Якобі) буде константою руху. Пряме обчислювальне підтвердження наведено нижче.

В інерціальній сидеричній системі координат (ξ, η, ζ), маси обертаються навколо барицентру. Стала Якобі виражається як^[2]:

${\displaystyle C_{J}=2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)+2n\left(\xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }}\right)-\left({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}+{\dot {\zeta }}^{2}\right).}$

У системі ко-ротації, прискорення можна виразити як похідні однієї скалярної функції:

${\displaystyle U(x,y,z)={\frac {n^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)+{\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}}$

Використовуючи Лагранжеве представлення рівнянь руху:

${\displaystyle {\ddot {x}}-2n{\dot {y}}={\frac {\delta U}{\delta x}}}$

(1)

${\displaystyle {\ddot {y}}+2n{\dot {x}}={\frac {\delta U}{\delta y}}}$

(2)

${\displaystyle {\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta z}}}$

(3)

Множимо рівн. (1), (2) і (3) на ẋ, ẏ і ż відповідно та додавання всіх трьох розв'язків:

${\displaystyle {\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta x}}{\dot {x}}+{\frac {\delta U}{\delta y}}{\dot {y}}+{\frac {\delta U}{\delta z}}{\dot {z}}={\frac {dU}{dt}}}$

Інтегрування отриманих розв'язків:

${\displaystyle {\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=2U-C_{J}}$

де C_J— стала інтегрування.

Ліва частина ─ квадрат швидкості v пробної частинки в ко-ротаційній системі.

• Обертова система відліку
• Точки Лагранжа
• Порожнина Роша
• Задача трьох тіл

• Александров Ю. В. Небесна механіка. — Харків : ХНУ імені В. Н. Каразіна, 2003. — 252 с.