Аргумент (комплексний аналіз)

У математиці (зокрема в комплексному аналізі) аргуме́нт (англ. argument) комплексного числа z, позначуваний через arg(z), — це кут між додатною дійсною піввіссю та прямою, що сполучає початок координат із z, поданим як точка на комплексній площині; на рисунку 1 його позначено через ${\displaystyle \varphi }$. За домовленістю додатну дійсну піввісь зображують спрямованою праворуч, додатну уявну піввісь — вгору, а для комплексних чисел із додатною дійсною частиною аргумент, відлічений проти годинникової стрілки, вважають додатним.

Якщо допускати будь-яке дійсне значення кута, аргумент є багатозначною функцією, визначеною на ненульових комплексних числах. Головне значення цієї функції однозначне; зазвичай ним обирають те єдине значення аргумента, що належить проміжку ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$.^[1][2] У цій статті багатозначну функцію позначатимемо через arg(z), а її головне значення — через Arg(z), проте в деяких джерелах велику й малу літери в цих позначеннях використовують навпаки.

Аргуме́нт ненульового комплексного числа z = x + iy, позначуваний через arg(z), визначають двома рівнозначними способами:

1. Геометрично, на комплексній площині, як двовимірний полярний кут ${\displaystyle \varphi }$ від додатної дійсної півосі до вектора, що подає z. Його числове значення дорівнює величині кута в радіанах і є додатним, якщо кут відлічують проти годинникової стрілки.
2. Алгебрично, як будь-яку дійсну величину ${\displaystyle \varphi }$, таку що

$${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }}$$

для деякого додатного дійсного числа r (див. формулу Ейлера). Величина r — це модуль (або абсолютне значення) числа z, позначуваний через |z|: $${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

Аргумент нуля зазвичай залишають невизначеним. Іноді як рівнозначні вживають назви величина (англ. magnitude) для модуля та фаза (англ. phase)^[3][1] для аргумента. У деяких давніших математичних працях як синонім аргумента для позначення кута комплексного числа вживали термін «амплітуда» (англ. "amplitude").^[a] Хоча в сучасних працях цей термін переважно застарів, він досі трапляється в освітніх ресурсах окремих регіонів, де його іноді вживають у підручниках початкового рівня.^[4]

З обох визначень видно, що аргумент будь-якого ненульового комплексного числа має багато можливих значень: по-перше, з геометричного погляду зрозуміло, що повні оберти не змінюють точки, тому кути, що різняться на ціле кратне 2π радіан (повного оберту), вважають однаковими, як показано на рисунку 2 праворуч. Аналогічно, завдяки періодичності функцій sin та cos, друге визначення також має цю властивість.

Оскільки повний оберт навколо початку координат залишає комплексне число незмінним, існує багато варіантів вибору ${\displaystyle \varphi }$, які можна отримати, обійшовши початок координат довільну кількість разів, як показано на рисунку 2.

Коли потрібна однозначно визначена функція, зазвичай обирають значення у відкритому ліворуч й замкненому праворуч проміжку ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ радіан, відоме як головне значення, тобто від −π по π радіан, без самого значення −π радіан (рівнозначно від −180 по +180 градусів, без самого значення −180°). Це відповідає куту від додатної дійсної півосі в будь-якому напрямку не більш як на пів кола.

Деякі автори задають область значень головного значення як замкнений ліворуч й відкритий праворуч проміжок ${\displaystyle [0,2\pi )}$.

У позначенні головного значення іноді використовують велику початкову літеру, як у Arg z, особливо коли також розглядають загальний варіант аргумента. Зауважте, що позначення різняться, тому в різних текстах arg та Arg можуть вживати навпаки.

Множину всіх можливих значень аргумента можна записати через Arg так: $${\displaystyle \arg(z)=\{\operatorname {Arg} (z)+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}.}$$

Якщо комплексне число задано його дійсною та уявною частинами, то функцію, яка обчислює головне значення Arg, називають функцією арктангенса з двома аргументами atan2: $${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)}$$ Функція atan2 доступна в математичних бібліотеках багатьох мов програмування, іноді під іншою назвою, і зазвичай повертає значення з проміжку ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$.^[1] Докладніший опис та альтернативні втілення див. у статті atan2, зокрема $${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=2\operatorname {atan} {\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\,,}$$ що працює в усіх випадках, крім випадку, коли ${\displaystyle y=0}$ та ${\displaystyle x\leq 0}$; тоді значення дорівнює ${\displaystyle \pi }$, якщо ${\displaystyle x<0}$, або невизначене, якщо ${\displaystyle x=0}$.

У мові Wolfram є Arg[z]:^[5]

Arg[x + y I] ${\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{якщо }}x=0{\text{ та }}y=0,\\[5mu]{\text{невизначене}}&{\text{якщо }}|x|=\infty {\text{ та }}|y|=\infty ,\\[5mu]0&{\text{якщо }}x=\infty {\text{ та }}|y|\neq \infty ,\\[5mu]\pi &{\text{якщо }}x=-\infty {\text{ та }}|y|\neq \infty ,\\[5mu]\pm {\frac {\pi }{2}}&{\text{якщо }}y=\pm \infty {\text{ та }}|x|\neq \infty ,\\[5mu]\operatorname {Arg} (x+yi)&{\text{інакше}}.\end{cases}}}$

або через наявну в цій мові функцію ArcTan:

Arg[x + y I] ${\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{якщо }}x=0{\text{ та }}y=0,\\[5mu]{\text{ArcTan[x, y]}}&{\text{інакше}}.\end{cases}}}$

ArcTan[x, y] — це функція ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$, розширена для роботи з нескінченностями. ArcTan[0, 0] має значення Indeterminate (тобто воно все ж визначене), тоді як ArcTan[Infinity, -Infinity] нічого не повертає (тобто невизначене).

У Maple функція argument(z) поводиться так само, як Arg[z] у мові Wolfram, за винятком того, що argument(z) також повертає ${\displaystyle -\pi }$, якщо z має спеціальне значення з рухомою комою −0..^[6] Крім того, у Maple немає функції ${\displaystyle \operatorname {atan2} }$.

У MATLAB функція angle(z) поводиться^[7][8] так само, як Arg[z] у мові Wolfram, за винятком того, що її значення дорівнює

$${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1\pi }{4}}&{\text{якщо }}x=\infty {\text{ та }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {1\pi }{4}}&{\text{якщо }}x=\infty {\text{ та }}y=-\infty ,\\[5mu]{\frac {3\pi }{4}}&{\text{якщо }}x=-\infty {\text{ та }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {3\pi }{4}}&{\text{якщо }}x=-\infty {\text{ та }}y=-\infty .\end{cases}}}$$

На відміну від Maple та мови Wolfram, у MATLAB виклик atan2(y, x) рівнозначний виклику angle(x + y*1i). Тобто atan2(0, 0) дорівнює ${\displaystyle 0}$.

Однією з основних спонук визначення головного значення Arg є можливість записувати комплексні числа через їхні модуль та аргумент. Отже, для будь-якого комплексного числа z $${\displaystyle z=\left|z\right|e^{i\operatorname {Arg} z}.}$$

Насправді ця рівність справедлива лише для ненульового z, проте її можна вважати справедливою й для z = 0, якщо ${\displaystyle \operatorname {Arg} 0}$ розглядати як невизначеність, а не як вираз, значення якого не визначене.

Нижче наведено ще кілька тотожностей. Якщо z₁ та z₂ — два ненульові комплексні числа, то $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})&\equiv \operatorname {Arg} z_{1}+\operatorname {Arg} z_{2}{\pmod {\left(-\pi ,\pi \right]}},\\\operatorname {Arg} {\frac {z_{1}}{z_{2}}}&\equiv \operatorname {Arg} z_{1}-\operatorname {Arg} z_{2}{\pmod {\left(-\pi ,\pi \right]}},\end{aligned}}}$$ де ${\displaystyle (\operatorname {mod} \left(-\pi ,\pi \right])}$ означає за потреби додати або відняти ціле кратне 2π, щоб отримане значення належало проміжку ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ радіан. Зокрема, $${\displaystyle \operatorname {Arg} (-z)\equiv \operatorname {Arg} z+\pi {\begin{cases}1,&\operatorname {Im} z<0,\\\operatorname {sgn} z,&\operatorname {Im} z=0,\\-1,&\operatorname {Im} z>0.\\\end{cases}}}$$

Якщо z ≠ 0, а n — довільне ціле число, то^[1] $${\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg} z{\pmod {\left(-\pi ,\pi \right]}}.}$$

$${\displaystyle \operatorname {Arg} \left({\frac {-1-i}{i}}\right)=\left(\operatorname {Arg} (-1-i)-\operatorname {Arg} i=-{\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {5\pi }{4}}\right){\pmod {\left(-\pi ,\pi \right]}}={\frac {3\pi }{4}}.}$$

З ${\displaystyle z=|z|e^{i\operatorname {Arg} z}}$ отримуємо ${\displaystyle i\operatorname {Arg} z=\ln {\frac {z}{|z|}}}$, або ж ${\displaystyle \operatorname {Arg} (z)=\operatorname {Im} \ln {\frac {z}{|z|}}=\operatorname {Im} \ln z}$. Оскільки беремо уявну частину, будь-яке нормування додатним дійсним скаляром не впливає на результат. Це корисно, коли доступний комплексний логарифм.

Функція аргумента не є комплексно диференційовною, оскільки границя $${\displaystyle \lim \limits _{z\to z_{0}}{\frac {\arg z-\arg z_{0}}{z-z_{0}}}}$$ не існує для жодного ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ на жодній гілці (справді, для будь-якої обраної гілки чисельник має те саме значення). Проте до неї можна застосувати похідні Віртінґера. Почнімо з логарифмічної тотожності $${\displaystyle \ln z=\operatorname {Ln} |z|+i\arg z.}$$ Скористаймося тим, що ${\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}}$: $${\displaystyle \ln z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} z+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} {\bar {z}}+i\arg z.}$$ Проводячи різні розрізи, можна у два прийоми обчислити похідні головного логарифма в усіх точках. Спочатку застосуймо ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$: $${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{z}}+0+i{\frac {\partial }{\partial z}}\arg z.}$$ Після перетворення отримуємо ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}\arg z={\frac {-i}{2z}}}$. Тепер застосуймо ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}}$: $${\displaystyle 0=0+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\bar {z}}}+i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\arg z.}$$ Звідси випливає, що ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\arg z={\frac {i}{2{\bar {z}}}}}$. Оскільки існують обидві похідні Віртінґера, далі можна застосувати похідні Дольбо: $${\displaystyle \partial \arg(z)={\frac {-i}{2z}}\,dz,}$$ $${\displaystyle {\bar {\partial }}\arg(z)={\frac {i}{2{\bar {z}}}}\,d{\bar {z}}.}$$ Це означає, що існує зовнішня похідна, яка дорівнює їхній сумі: $${\displaystyle d\arg(z)={\frac {-i}{2z}}\,dz+{\frac {i}{2{\bar {z}}}}\,d{\bar {z}}.}$$ Це важлива диференціальна форма, оскільки вона є саме твірним елементом першої групи когомологій де Рама кола, ${\displaystyle H_{dR}^{1}(S^{1})}$. Іншими словами, $${\displaystyle d\arg(z)={\frac {-i}{2z}}\,dz+{\frac {i}{2{\bar {z}}}}\,d{\bar {z}}={\frac {x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}}},}$$ отже, ця форма замкнена, але не точна у звичайному розумінні (це наслідок багатозначності): $${\displaystyle \oint \limits _{S^{1}}d\arg(z)=2\pi >0}$$ за стандартної орієнтації.

• Weisstein, Eric W. Complex Argument. mathworld.wolfram.com (англ.). Процитовано 31 серпня 2020.