YaChudo

Синус

Переглядів: 0. Оновлено 11.10.2026.

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Синус (значення).

Синус (лат. sinus — «пазуха») — тригонометрична функція кута. Визначення синуса гострого кута в контексті прямокутного трикутника: для заданого кута, є відношенням довжини катета, що є протилежним даному куту, до довжини найдовшої сторони трикутника (гіпотенузи).

У загальнішому випадку, визначення синуса (та інших тригонометричних функцій) може бути розширене до значення дійсного числа, що належить до довжини певного відрізка в одиничному колі. Більш складні сучасні визначення задають синус як нескінченний ряд або як розв'язок деяких диференційних рівнянь, що дозволяє їх розширення до довільних додатних і від'ємних значень і навіть до комплексних чисел.

Функція синуса зазвичай застосовується в моделюванні періодичних явищ, таких як звукові і світлові хвилі, позиції і швидкості гармонічних коливань, інтенсивності сонячного світла і довжини для, коливань середньої температури в період року.

Функція синус має зв'язок у своєму походженні до функцій джа і коті-джа, що використовувалися в період Гупта в Індійській астрономії (Ар'ябхатія, Сур'я Сіддханта), шляхом перекладу із санскриту на арабську мову, а потім з арабської на латинь[1]. Слово «синус» походить від неправильного перекладу на латину арабського джиба, яке є транслітерацією слова на санскриті, що означало половину хорди, джа-ардха.[2] Таблиця синусів містить числові значення функції синуса.

Визначення в контексті прямокутного трикутника

Для кута α, функція синуса задає відношення довжини протилежного до кута катету до довжини гіпотенузи, sin ⁡ α = opposite hypotenuse {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}}

При визначенні тригонометричних функцій для гострого кута α, беруть будь-який прямокутний трикутник який містить кут α; на відповідному малюнку, це геометричний кут A в трикутнику ABC, який має значення α. Три сторони трикутника мають назви:

  • протилежний катет це сторона протилежна обраному куту, в даному випадку це сторона a.
  • гіпотенуза це сторона протилежна прямому куту, в даному випадку це сторона h. Гіпотенуза завжди є найдовшою стороною прямокутного трикутника.
  • прилеглий катет- сторона що залишилась, в даному випадку це сторона b. Це сторона, яка одночасно прилягає до вибраного кута (кут A) і до прямого кута трикутника.

У визначеному трикутнику, синус кута дорівнює довжині протилежного катету поділеному на довжину гіпотенузи (інші тригонометричні функції можуть визначатися аналогічним способом; наприклад, косинус кута є відношенням довжин прилеглого катету до гіпотенузи).

Як уже зазначалося, значення функції sin(α) залежить від вибраного прямокутного трикутника, який містить в собі кут величиною α. Однак, це не є важливим: оскільки всі такі трикутники є подібними, і співвідношення сторін буде однакове в усіх таких трикутниках.

В контексті одиничного кола

Ілюстрація одиничного кола. Радіус якого дорівнює 1. Змінна t задає значення Кута.

В тригонометрії, одиничне коло це коло з радіусом один і з центром у початку координат (0, 0) декартової системи координат.

Нехай існує довільна пряма через початок координат, яка утворює кут θ із додатною частиною осі x, і перетинає одиничне коло. x і y — координати точки перетину прямої і кола, які дорівнюють cos θ і sin(θ) відповідно. Відстань від точки до початку координат завжди дорівнює 1.

На відміну від визначення в контексті прямокутного трикутника або кута нахилу, використовуючи одиничне коло значення кута можуть бути розширені до повного набору дійсних аргументів. В такому випадку функція синуса є періодичною.

Одиничне коло є в основі принципу побудови координатного транспортиру. При безперервному обертанні кута навколо своєї осі на 360 градусів можна бачити як координата транспортира зміщується по осі Y від -1 до 1. На осі Y в одиничному колі розміщені значення функції синуса.

Анімація показує як функція синуса (червона) y = sin ⁡ ( θ ) {\displaystyle y=\sin(\theta )} із значень y-координати (червона точка), що змінюється при окреслені точкою одиничного кола (зелена), і значення кута θ задаються радіанах.

Тотожності

Точні тотожності (застосовуються до радіан): Застосовуються до всіх значень кута θ {\displaystyle \theta } .

sin ⁡ ( θ ) = cos ⁡ ( π 2 − θ ) = 1 csc ⁡ ( θ ) {\displaystyle \sin(\theta )=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc(\theta )}}}

Обернені

оберненим числом для синуса є косеканс, тобто обернене число для sin(A) записується як csc(A), або cosec(A). Косеканс задає відношення довжини гіпотенузу до довжини протилежного катету:

csc ⁡ ( A ) = 1 sin ⁡ ( A ) = hypotenuse opposite = h a . {\displaystyle \csc(A)={\frac {1}{\sin(A)}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {h}{a}}.}

Обернені функції

Головні значення функції arcsin(x) зображені на декартовій площині. Arcsin є оберненою функцією від синуса.

Оберненою функцією для синуса є арксинус (позначається як arcsin або asin) або обернений синус (sin-1). Оскільки синус не має ін'єктивного відображення, арксинус не є точною оберненою функцією, а є частковою оберненою функцією. Наприклад, sin(0) = 0, але також і sin(π) = 0, sin(2π) = 0 і так далі. Звідси випливає, що функція арксинус багатозначна: arcsin(0) = 0, але також і arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π, і т. д.. Коли необхідно мати одне визначене значення, функція може бути обмежена до її головної області значень. Виходячи з цього обмеження, для кожного значення x в усій області значень, вираз arcsin(x) прийматиме лише одне значення, яке називається його головним значенням.

θ = arcsin ⁡ ( opposite hypotenuse ) = sin − 1 ⁡ ( a h ) . {\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\sin ^{-1}\left({\frac {a}{h}}\right).}

k є деяким цілим значенням:

sin ⁡ ( y ) = x   ⇔   y = arcsin ⁡ x + 2 π k ,  or  y = π − arcsin ⁡ ( x ) + 2 π k {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(y)=x\ \Leftrightarrow \ &y=\arcsin x+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k\end{aligned}}}

або у вигляді одного рівняння:

sin ⁡ ( y ) = x   ⇔   y = ( − 1 ) k arcsin ⁡ ( x ) + π k {\displaystyle \sin(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k}

Arcsin задовольняє рівнянням:

sin ⁡ ( arcsin ⁡ ( x ) ) = x {\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x\!}

і

arcsin ⁡ ( sin ⁡ ( θ ) ) = θ for  − π 2 ≤ θ ≤ π 2 . {\displaystyle \arcsin(\sin(\theta ))=\theta \quad {\text{for }}-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}.}

Обчислення

Для функції синус:

f ( x ) = sin ⁡ ( x ) {\displaystyle f(x)=\sin(x)\,}

Похідною є:

f ′ ( x ) = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle f'(x)=\cos(x)\,}

Первісною функції є:

∫ f ( x ) d x = − cos ⁡ x + C {\displaystyle \int f(x)\,dx=-\cos x+C} ,

де C позначає сталу інтегрування.

Зв'язок із іншими тригонометричними функціями

Функції синуса і косинуса можна пов'язати між собою різними виразами. Ці дві функції відрізняються фазою в 90°: sin ⁡ ( π / 2 − x ) {\displaystyle \sin(\pi /2-x)} = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} для всіх кутів x. А також, похідною функції sin(x) є cos(x).

Будь-яку тригонометричну функцію можна виразити через інші тригонометричні функції (з урахуванням знаків плюс та мінус у різних чвертях або за допомогою знакової функції (sgn)).

Через інші тригонометричні функції синус можна виразити наступним чином:

f θ З використанням плюса/мінуса (±) З використанням функції (sgn)
f θ = ± по чвертям f θ =
I II III IV
cos sin ⁡ ( θ ) {\displaystyle \sin(\theta )} = ± 1 − cos 2 ⁡ ( θ ) {\displaystyle =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}} + + − − = sgn ⁡ ( cos ⁡ ( θ − π 2 ) ) 1 − cos 2 ⁡ ( θ ) {\displaystyle =\operatorname {sgn} \left(\cos \left(\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}}
cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle \cos(\theta )} = ± 1 − sin 2 ⁡ ( θ ) {\displaystyle =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}} + − − + = sgn ⁡ ( sin ⁡ ( θ + π 2 ) ) 1 − sin 2 ⁡ ( θ ) {\displaystyle =\operatorname {sgn} \left(\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}
cot sin ⁡ ( θ ) {\displaystyle \sin(\theta )} = ± 1 1 + cot 2 ⁡ ( θ ) {\displaystyle =\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}(\theta )}}}} + + − − = sgn ⁡ ( cot ⁡ ( θ 2 ) ) 1 1 + cot 2 ⁡ ( θ ) {\displaystyle =\operatorname {sgn} \left(\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right){\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}(\theta )}}}}
cot ⁡ ( θ ) {\displaystyle \cot(\theta )} = ± 1 − sin 2 ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) {\displaystyle =\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}{\sin(\theta )}}} + − − + = sgn ⁡ ( sin ⁡ ( θ + π 2 ) ) 1 − sin 2 ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) {\displaystyle =\operatorname {sgn} \left(\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}{\sin(\theta )}}}
tan sin ⁡ ( θ ) {\displaystyle \sin(\theta )} = ± tan ⁡ ( θ ) 1 + tan 2 ⁡ ( θ ) {\displaystyle =\pm {\frac {\tan(\theta )}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\theta )}}}} + − − + = sgn ⁡ ( tan ⁡ ( 2 θ + π 4 ) ) tan ⁡ ( θ ) 1 + tan 2 ⁡ ( θ ) {\displaystyle =\operatorname {sgn} \left(\tan \left({\frac {2\theta +\pi }{4}}\right)\right){\frac {\tan(\theta )}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\theta )}}}}
tan ⁡ ( θ ) {\displaystyle \tan(\theta )} = ± sin ⁡ ( θ ) 1 − sin 2 ⁡ ( θ ) {\displaystyle =\pm {\frac {\sin(\theta )}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}} + − − + = sgn ⁡ ( sin ⁡ ( θ + π 2 ) ) sin ⁡ ( θ ) 1 − sin 2 ⁡ ( θ ) {\displaystyle =\operatorname {sgn} \left(\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\frac {\sin(\theta )}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}}
sec sin ⁡ ( θ ) {\displaystyle \sin(\theta )} = ± sec 2 ⁡ ( θ ) − 1 sec ⁡ ( θ ) {\displaystyle =\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}(\theta )-1}}{\sec(\theta )}}} + − + − = sgn ⁡ ( sec ⁡ ( 4 θ − π 2 ) ) sec 2 ⁡ ( θ ) − 1 sec ⁡ ( θ ) {\displaystyle =\operatorname {sgn} \left(\sec \left({\frac {4\theta -\pi }{2}}\right)\right){\frac {\sqrt {\sec ^{2}(\theta )-1}}{\sec(\theta )}}}
sec ⁡ ( θ ) {\displaystyle \sec(\theta )} = ± 1 1 − sin 2 ⁡ ( θ ) {\displaystyle =\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}} + − − + = sgn ⁡ ( sin ⁡ ( θ + π 2 ) ) 1 1 − sin 2 ⁡ ( θ ) {\displaystyle =\operatorname {sgn} \left(\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}}

Всі рівняння, в яких використовуються знаки плюс/мінус (±), мають додатні значення для кутів в першій чверті.

Основний зв'язок між синусом і косинусом може виражатися у вигляді Тригонометричної тотожності Піфагора:

cos 2 ⁡ ( θ ) + sin 2 ⁡ ( θ ) = 1 {\displaystyle \cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1\!}

де sin2x означає (sin(x))2.

Властивості пов'язані із чвертями

Чотири чверті Декартової системи координат.

В рамках чотирьох чвертей функція синуса має такі властивості.

Чверть Градуси Радіани Значення Знак Монотонність Опуклість
1-а чверть 0 ∘ < x < 90 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }<x<90^{\circ }} 0 < x < π 2 {\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}} 0 < sin ⁡ ( x ) < 1 {\displaystyle 0<\sin(x)<1} + {\displaystyle +} зростаюча увігнута
2-а чверть 90 ∘ < x < 180 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }} π 2 < x < π {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<x<\pi } 0 < sin ⁡ ( x ) < 1 {\displaystyle 0<\sin(x)<1} + {\displaystyle +} спадна увігнута
3-а чверть 180 ∘ < x < 270 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }<x<270^{\circ }} π < x < 3 π 2 {\displaystyle \pi <x<{\frac {3\pi }{2}}} − 1 < sin ⁡ ( x ) < 0 {\displaystyle -1<\sin(x)<0} − {\displaystyle -} спадна опукла
4-а чверть 270 ∘ < x < 360 ∘ {\displaystyle 270^{\circ }<x<360^{\circ }} 3 π 2 < x < 2 π {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}<x<2\pi } − 1 < sin ⁡ ( x ) < 0 {\displaystyle -1<\sin(x)<0} − {\displaystyle -} зростаюча опукла

Точки на межах чвертей. k є цілим числом.

Чверті одиничного кола і функції sin x, у Декартовій системі координат.
Градуси Радіани

0 ≤ x < 2 π {\displaystyle 0\leq x<2\pi }

Радіани sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(x)} Тип точки
0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }} 0 {\displaystyle 0} 2 π k {\displaystyle 2\pi k} 0 {\displaystyle 0} Корінь, Точка перегину
90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 2 π k + π 2 {\displaystyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}} 1 {\displaystyle 1} Максимум
180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} π {\displaystyle \pi } 2 π k − π {\displaystyle 2\pi k-\pi } 0 {\displaystyle 0} Корінь, Точка перегину
270 ∘ {\displaystyle 270^{\circ }} 3 π 2 {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}} 2 π k − π 2 {\displaystyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}} − 1 {\displaystyle -1} Мінімум

Для аргументів, яких нема в цій таблиці, значення задані із урахуванням, що функція синуса є періодичною із періодом 360° (або 2π радіан): sin ⁡ ( α + 360 ∘ ) = sin ⁡ ( α ) {\displaystyle \sin(\alpha +360^{\circ })=\sin(\alpha )} , або sin ⁡ ( α + 180 ∘ ) = − sin ⁡ ( α ) {\displaystyle \sin(\alpha +180^{\circ })=-\sin(\alpha )} . А також cos ⁡ ( x ) = e x i + e − x i 2 {\displaystyle \cos(x)={\frac {e^{xi}+e^{-xi}}{2}}} і sin ⁡ ( x ) = e x i − e − x i 2 i {\displaystyle \sin(x)={\frac {e^{xi}-e^{-xi}}{2i}}} . Для доповнення синуса, маємо sin ⁡ ( 180 ∘ − α ) = sin ⁡ ( α ) {\displaystyle \sin(180^{\circ }-\alpha )=\sin(\alpha )} .

Див. також

Примітки

  1. ↑ Uta C. Merzbach, Carl B. Boyer (2011), A History of Mathematics, Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, 3rd ed., p. 189.
  2. ↑ Victor J. Katz (2008), A History of Mathematics, Boston: Addison-Wesley, 3rd. ed., p. 253, sidebar 8.1. [1] [Архівовано 2015-04-14 у Wayback Machine.]

Посилання

Джерело: стаття у Вікіпедії та історія редагувань (автори).