Радіан

одиниця вимірювання кута
безрозмірнісна одиниця^d^[1]
похідна одиниця SI, що має власну назву^[2]^[3] і основна одиниця UCUM^d
Радіан
	Кут 1 радіан відтинає дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола
Загальна інформація
Система одиниць	Похідні одиниці SI
Одиниця	кута
Позначення	рад або rad
Розмірність	безрозмірнісна, як відношення довжини дуги до радіуса 1 м/м
Перерахунок в інші системи
1 рад в...	дорівнює...
мілірадіанах	1000 мрад
обертах	1/2π оберта
градусах	180/π ≈ 57.296°
градах	200/π ≈ 63.662 гон
	Радіан у Вікісховищі

Радіа́н (у математиці та фізиці) — це одиниця вимірювання площинних кутів в Міжнародній системі одиниць SI.

Один радіан — це площинний кут, утворений двома радіусами, так, що довжина дуги між ними дорівнює радіусу кола^[4]. Тобто, вимірювання кута в радіанах показує в скільки разів довжина дуги кола, що спирається на цей кут, відрізняється від його радіуса.

Радіан є безрозмірнісною одиницею вимірювання та має позначення рад (міжнародне — rad)^[5], але, зазвичай, при написанні це позначення не пишеться. При вимірюванні кутів в градусах використовують позначення °, для того щоб відрізнити від величин, виражених в радіанах.

Пояснення

Повна довжина кола дорівнює 2πr, де r — радіус кола. Тому повне коло є кутом в 2π≈6.28319 радіан. Перетворення радіанів у градуси та навпаки здійснюється так:

{2\pi }

рад

=360^{\circ }

,

1 рад (або

p^{\circ }

) =

{\frac {360^{\circ }}{2\pi }}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57{,}295779513^{\circ }\approx 57^{\circ }17'44{,}806''

.

{360^{\circ }}={2\pi }

рад,

{1^{\circ }}={\frac {2\pi }{360}}

рад

={\frac {\pi }{180}}

рад.

Властивості

Широке застосування радіанів в математичному аналізі обумовлено тим, що вирази з тригонометричними функціями, аргументи яких вимірюються в радіанах, набувають максимально простого вигляду (без числових коефіцієнтів). Наприклад, використовуючи радіани, отримаємо просту тотожність

\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1,

що лежить в основі багатьох елегантних формул в математиці.

При малих кутах синус і тангенс кута, вираженого в радіанах, рівні самому куту, що зручно при наближених обчисленнях.

Косинус малого кута, вираженого в радіанах, наближено дорівнює:

\cos(x)\approx 1-{\frac {x^{2}}{2}}

Розмірність

Радіан є безрозмірнісною одиницею вимірювання. Тобто числове значення кута, що виміряний в радіанах, позбавлене розмірності. Це легко бачити із самого означення радіана, як відношення довжини кола до радіуса. Згідно з рекомендаціями Міжнародного бюро з мір та ваг радіан інтерпретується як одиниця з розмірністю 1 = м·м⁻¹ (м/м, тобто метр на метр — чисельник і знаменник можливо скоротити, тобто він має розмірність 1).

Інакше, безрозмірність радіана можна бачити з виразу ряду Тейлора для тригонометричної функції sin(x):

\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots .

Якби x мав розмірність, тоді ця сума була б позбавлена змісту — лінійний доданок x не можна було б додати до кубічного x³/3!, як величини різних розмірностей. Отже, x мусить бути безрозмірнісним.

Кутові швидкості теорії електричних машин прийнято вимірювати в електричних радіанах в секунду (ел. рад/с). Зв'язок між кутовими швидкостями ел. рад/с та в механічних одиницях (рад/с) встановлюється окремими залежностями^[6].

Див. також

Примітки

↑ Phillips W. D. Dimensionless units in the SI // Metrologia — IOP Publishing, 2014. — Vol. 52. — P. 40–47. — ISSN 0026-1394; 1681-7575 — doi:10.1088/0026-1394/52/1/40 — arXiv:1409.2794
↑ 6.5 // Quantities and units—Part 1: General — Міжнародна організація зі стандартизації.
↑ 2.3.4 // The International System of Units, Le Système international d’unités — 9 — BIPM, 2019. — ISBN 978-92-822-2272-0
↑ The International System of Units (PDF), V3.01 (9th ed.), International Bureau of Weights and Measures, Aug 2024, p. 138, ISBN 978-92-822-2272-0: «One radian is the angle subtended at the centre of a circle by an arc that is equal in length to the radius.»
↑ Наказ Міністерства економічного розвитку та торгівлі України від 25.08.2015 № 914. Про затвердження визначень основних одиниць SI, назв та визначень похідних одиниць SI, десяткових кратних і частинних від одиниць SI, дозволених позасистемних одиниць, а також їх позначень та Правил застосування одиниць вимірювання і написання назв та позначень одиниць вимірювання і символів величин.
↑ Радиан электрический

Джерела

Алєксєєв, В. М. Математика: Довідковий повторювальний курс [Текст] : [навч. посібник] / В. М. Алєксєєв, Р. П. Ушаков;за ред. М. Й. Ядренка. — К. : Вища школа, 1992. — 494 с. — ISBN 5-11-000094-1
Математика для вступників до вузів [Текст] : навчальний посібник / В. В. Семенець, М. Ф. Бондаренко, В. А. Дікарев та ін. — Харків : СМІТ, 2002. — 1120с. — ISBN 966-7714-88-8. — ISBN 966-95983-1-1

Посилання

Радіан // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 165. — ISBN 978-966-7407-83-4.
«Углы, градусы и радианы» — переклад статті Intuitive Guide to Angles, Degrees and Radians | BetterExplained (англ.)

[<span_class="wikidata_cite_citetype_Q13442814"_data-entity-id="Q51158115"><i_class="wef_low_priority_links">[[:Вільям_Деніел_Філліпс|Phillips&nbsp;W.&nbsp;D.]]</i>_[[:d:Q51158115|Dimensionless_units_in_the_SI]]_//_''[[:en:Metrologia|Metrologia]]''<span_class="wef_low_priority_links">_—_[[:IOP_Publishing|IOP_Publishing]],_2014._—_Vol.&nbsp;52._—_P.&nbsp;40–47._—_ISSN_[https://www.worldcat.org/issn/0026-1394_0026-1394];_[https://www.worldcat.org/issn/1681-7575_1681-7575]_—_[http://dx.doi.org/10.1088/0026-1394/52/1/40_doi:10.1088/0026-1394/52/1/40]_—_[http://arxiv.org/abs/1409.2794_arXiv:1409.2794]</span></span><div_style="display:none">[[d:Track:Q51158115]][[d:Track:Q2915886]][[d:Track:Q2044001]]</div>-1] Phillips W. D. Dimensionless units in the SI // Metrologia — IOP Publishing, 2014. — Vol. 52. — P. 40–47. — ISSN 0026-1394; 1681-7575 — doi:10.1088/0026-1394/52/1/40 — arXiv:1409.2794

[<span_class="wikidata_cite_citetype_Q15087423"_data-entity-id="Q17005446">6.5_//_[[:d:Q17005446|Quantities_and_units—Part_1:_General]]<span_class="wef_low_priority_links">_—_[[:Міжнародна_організація_зі_стандартизації|Міжнародна_організація_зі_стандартизації]].</span></span><div_style="display:none">[[d:Track:Q17005446]][[d:Track:Q15028]][[d:Track:Q568496]]</div>-2] 6.5 // Quantities and units—Part 1: General — Міжнародна організація зі стандартизації.

[<span_class="wikidata_cite_citetype_Q3331189"_data-entity-id="Q68977219">[https://www.bipm.org/utils/common/pdf/si-brochure/SI-Brochure-9.pdf_2.3.4]_//_[[:d:Q68977219|The_International_System_of_Units]],_[[:d:Q68977219|Le_Système_international_d’unités]]<span_class="wef_low_priority_links">_—_9_—_[[:Міжнародне_бюро_мір_і_ваг|BIPM]],_2019._—_ISBN_978-92-822-2272-0</span></span><div_style="display:none">[[d:Track:Q229478]][[d:Track:Q68977219]]</div>-3] 2.3.4 // The International System of Units, Le Système international d’unités — 9 — BIPM, 2019. — ISBN 978-92-822-2272-0

[4] The International System of Units (PDF), V3.01 (9th ed.), International Bureau of Weights and Measures, Aug 2024, p. 138, ISBN 978-92-822-2272-0: «One radian is the angle subtended at the centre of a circle by an arc that is equal in length to the radius.»

[5] Наказ Міністерства економічного розвитку та торгівлі України від 25.08.2015 № 914. Про затвердження визначень основних одиниць SI, назв та визначень похідних одиниць SI, десяткових кратних і частинних від одиниць SI, дозволених позасистемних одиниць, а також їх позначень та Правил застосування одиниць вимірювання і написання назв та позначень одиниць вимірювання і символів величин.

[6] Радиан электрический

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]