Ромб

Ромб
Два ромби
Належить до класів	чотирикутник, паралелограм, дельтоїд
Ребра і вершини	4
Символ Шлефлі	{ } + { }
Діаграма Коксетера
Група симетрії	діедральна (D2), [2], (*22), порядок 4
Площа	${\displaystyle S={\frac {p\cdot q}{2}}}$ (половина добутку діагоналей)
Дуальний багатокутник	прямокутник
Властивості	опуклий, ізотоксальний
Ромб у Вікісховищі

Ромб (грец. ρομβος) — це паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Ромб, сторони якого утворюють прямий кут, називають квадратом.

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

Слово «ромб» походить від грец. ῥόμβος (ромбос), що означає щось, що обертається^[1], утворене своєю чергою від дієслова ῥέμβω (рембо), що означає «обертаюся довкола»^[2]. Слово використовувалося Евклідом і Архімедом, які використовували термін «об'ємний суцільний ромб» для двох круглих конусів зі спільною основою^[3].

Та плоска фігура, яку ми сьогодні називаємо ромбом, є поздовжнім перетином того суцільного ромба, що проходить крізь вершини кожного з двох конусів.

Паралелограм ABCD буде ромбом, якщо виконується хоча б одна з таких умов:

1. Дві його суміжні сторони рівні (звідси випливає, що всі сторони рівні): АВ = ВС = CD = AD
2. Його діагоналі перетинаються під прямим кутом: AC┴BD
3. Одна із діагоналей (бісектриса) ділить кути навпіл:
   ∠BAC = ∠CAD або ∠BDA = ∠BDC
4. Якщо всі висоти рівні: BN = DL = BM = DK
5. Якщо діагоналі ділять паралелограм на чотири рівні прямокутні трикутники:
   Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO
6. Якщо в паралелограм можна вписати коло.

Кожен ромб має дві діагоналі, що з'єднують пари протилежних вершин, і має дві пари паралельних сторін. Використовуючи правила конгруентних трикутників, можна довести, що ромб є симетричним відносно кожної з його діагоналей. Звідси випливає, що ромб має такі властивості:

• Це паралелограм, діагоналі якого розділяють внутрішній кут.
• Протилежні кути ромба рівні.
• Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, точка перетину є серединою кожної діагоналі.
• Діагоналі ромба є бісектрисами кутів, з яких вони проведені.
• Сторони ромба попарно паралельні.
• Точка перетину діагоналей називається центром симетрії ромба.
• В будь-який ромб можна вписати коло.
• Центром кола, вписаного в ромб, є точка перетину його діагоналей.
• Сума квадратів діагоналей дорівнює квадрату сторони, помноженому на чотири: AC² + BD² = 4AB²

Однією з основних властивостей є те, що ромб - це паралелограм, внаслідок чого ромб має усі ті властивості, що й паралелограм. Наприклад,

• протилежні сторони паралельні;
• прилеглі кути є суміжними;
• дві діагоналі поділяють одна одну навпіл;
• будь-яка пряма, що проходить через центр, поділяє площу навпіл;
• сума квадратів сторін дорівнює сумі квадратів діагоналей (правило паралелограма).

Отож, якщо позначити сторону як a, а діагоналі як d₁ і d₂, то для кожного ромба

${\displaystyle \displaystyle 4a^{2}=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}.}$

Не кожен паралелограм є ромбом, але кожен паралелограм, у якого діагоналі є перпендикулярними, є ромбом. В загальному випадку будь-який чотирикутник з перпендикулярними діагоналями, одна з яких є лінією симетрії, - це дельтоїд.

1. Формула сторони ромба через площу і висоту:

${\displaystyle a={\frac {S}{h}}}$

2. Формула сторони ромба через площу і синус кута:

${\displaystyle a={\frac {\sqrt {S}}{\sqrt {\sin {\alpha }}}}}$

${\displaystyle a={\frac {\sqrt {S}}{\sqrt {\sin {\beta }}}}}$

3. Формула сторони ромба через площу і радіус вписаного кола:

${\displaystyle a={\frac {S}{2r}}}$

4. Формула сторони ромба через дві діагоналі:

${\displaystyle a={\frac {\sqrt {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}}{2}}}$

5. Формула сторони ромба через діагональ і косинус гострого кута (cos α) або косинус тупого кута (cos β):

${\displaystyle a={\frac {d_{1}}{\sqrt {2+2\cos {\alpha }}}}}$

${\displaystyle a={\frac {d_{2}}{\sqrt {2-2\cos {\beta }}}}}$

6. Формула сторони ромба через більшу діагональ і половинний кут:

${\displaystyle a={\frac {d_{1}}{2\cos {\frac {\alpha }{2}}}}}$

${\displaystyle a={\frac {d_{1}}{2\sin {\frac {\beta }{2}}}}}$

7. Формула сторони ромба через малу діагональ і половинний кут:

${\displaystyle a={\frac {d_{2}}{2\cos {\frac {\beta }{2}}}}}$

${\displaystyle a={\frac {d_{2}}{2\sin {\frac {\alpha }{2}}}}}$

8. Формула сторони ромба через периметр:

${\displaystyle a={\frac {P}{4}}}$

Діагональ ромба — це відрізок, що з'єднує дві вершини протилежних кутів ромба.

Ромб має дві діагоналі — більшу d₁, та меншу — d₂

1. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)

${\displaystyle d_{1}=a{\sqrt {2+2\cos \alpha }}}$

${\displaystyle d_{1}=a{\sqrt {2-2\cos \beta }}}$

2. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)

${\displaystyle d_{2}=a{\sqrt {2+2\cos \beta }}}$

${\displaystyle d_{2}=a{\sqrt {2-2\cos \alpha }}}$

3. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:

${\displaystyle d_{1}=2a\cdot \cos(\alpha /2)}$

${\displaystyle d_{1}=2a\cdot \sin(\beta /2)}$

4. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:

${\displaystyle d_{2}=2a\cdot \sin(\alpha /2)}$

${\displaystyle d_{2}=2a\cdot \cos(\beta /2)}$

5. Формули діагоналей ромба через сторону і другу діагональ:

${\displaystyle d_{1}={\sqrt {4a^{2}-d_{2}^{2}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\sqrt {4a^{2}-d_{1}^{2}}}}$

6. Формули діагоналей через тангенс гострого tgα або тупого tgβ кута і другу діагональ:

${\displaystyle d_{1}=d_{2}\cdot \tan(\beta /2)}$

${\displaystyle d_{2}=d_{1}\cdot \tan(\alpha /2)}$

7. Формули діагоналей через площу і другу діагональ:

${\displaystyle d_{1}={\frac {2S}{d_{2}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {2S}{d_{1}}}}$

8. Формули діагоналей через синус половинного кута і радіус вписаного кола:

${\displaystyle d_{1}={\frac {2r}{\sin(\alpha /2)}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {2r}{\sin(\beta /2)}}}$

Периметром ромба називається сума довжин всіх сторін ромба.

Формула периметра ромба через сторону ромба:

${\displaystyle P=4\cdot a}$

Площа ромба — це простір, обмежений сторонами ромба, тобто в межах периметра ромба.

1. Формула площі ромба через сторону і висоту:

${\displaystyle S=a\cdot h}$

2. Формула площі ромба через сторону і синус будь-якого кута:

${\displaystyle S=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta }$

3. Формула площі ромба через сторону і радіус:

${\displaystyle S=2a\cdot r}$

4. Формула площі ромба через дві діагоналі:

${\displaystyle S={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}}$

5. Формула площі ромба через синус кута і радіус вписаного кола:

${\displaystyle S={\frac {4\cdot r^{2}}{\sin \alpha }}}$

6. Формули площі через більшу діагональ і тангенс гострого кута (tgα) або малу діагональ і тангенс тупого кута (tgβ):

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}d_{1}^{2}\cdot \tan({\frac {\alpha }{2}}),}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}d_{2}^{2}\cdot \tan({\frac {\beta }{2}})}$

Колом, вписаним у ромб, називається коло, що дотикається до всіх сторін ромба та має центр на перетині діагоналей ромба.

1. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через висоту ромба:

${\displaystyle r={\frac {h}{2}}}$

2. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та сторону ромба:

${\displaystyle r={\frac {S}{2a}}}$

3. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та синус кута:

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {S\cdot \sin \alpha }}{2}}}$

4. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через сторону і синус будь-якого кута:

${\displaystyle r={\frac {a\cdot \sin \alpha }{2}}}$

${\displaystyle r={\frac {a\cdot \sin \beta }{2}}}$

5. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через діагональ та синус кута:

${\displaystyle r={\frac {d_{1}\cdot \sin(\alpha /2)}{2}}}$

${\displaystyle r={\frac {d_{2}\cdot \sin(\beta /2)}{2}}}$

6. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі:

${\displaystyle r={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2{\sqrt {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}}}}}$

7. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі та сторону:

${\displaystyle r={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{4a}}}$

Сторони ромба, центр якого суміщено з центром координат із діагоналями, що розташовані на осях, будуть складатися із точок (x, y), що задовільняють рівняння

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|\!=1.}$

Вершини знаходитимуться в точках ${\displaystyle (\pm a,0)}$ і ${\displaystyle (0,\pm b).}$ Це є особливим випадком супереліпса із експонентою 1.

• Ромбоїд
• Прямокутний дельтоїд

• Ромб // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 174. — ISBN 978-966-7407-83-4.
• Ромб. Формули, ознаки та властивості ромба