Чотирикутник

Чотирикутник
Зображення 1. Приклад чотирикутника
Належить до класів	многокутник і tetratoped
Ребра і вершини	4 ребра
Властивості	Теорема Птолемея, Quadrilateral inequalityd і Формула Бретшнайдера
‹ трикутник  п'ятикутник  ›
Чотирикутник у Вікісховищі

Чотирикутник — це частина площини, обмежена простою замкненою ламаною, яка містить чотири (4) ланки. Вона складається з чотирьох (4) вершин (точок) і чотирьох сторін (відрізків), що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій. Вершини чотирикутника називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Несусідні вершини називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями.

У чотирикутнику на зображені 1 діагоналями є відрізки AC і BD.

Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами. У чотирикутнику на даному малюнку протилежними сторонами є сторони AB і CD, BC і AD. Чотирикутник позначають, записуючи його вершини. Наприклад, чотирикутник на зображені 1 позначено так: ABCD. У позначенні чотирикутника вершини, що стоять поряд, повинні бути сусідніми. Чотирикутник ABCD можна також позначити BCDA або DCBA. Але не можна позначити ABDC (B і D — не сусідні вершини).

Внутрішні кути простого чотирикутника ABCD мають в сумі 360 градусів, тобто

${\displaystyle \mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C+\mathrm{\angle }D=360^{\circ }.}$

Сума довжин усіх сторін чотирикутника називається периметром.

Будь-який чотирикутник, сторони якого не перетинаються є простим чотирикутником.

В опуклих чотирикутників всі внутрішні кути є меншими за 180°, а дві діагоналі знаходяться в середині чотирикутника.

• Неправильний чотирикутник: не має паралельних сторін.
• Трапеція: одна пара протилежних сторін є паралельною.
• Рівнобічна трапеція: одна пара протилежних сторін є паралельними, а кути нахилу сторін при основі є рівними. Альтернативними визначеннями є: чотирикутник що має вісь симетрії, яка перетинає пару протилежних сторін, або трапеція із діагоналями рівної довжини.
• Паралелограм: чотирикутник із двома парами паралельних сторін. еквівалентною умовою є те, що його протилежні сторони мають однакову довжину; що протилежні кути рівні; або що діагоналі перетинаються і ділять одна одну навпіл. До паралелограмів відноситься ромб, прямокутник, а також квадрат.
• Ромб: всі чотири сторони мають однакову довжину. Або еквівалентно: діагоналі перпендикулярні і перетином ділять навпіл одна одну. Не формально це є «сплюснутий квадрат» (але строго математично квадрат теж є ромбом).
• Ромбоїд: паралелограм в якого суміжні сторони мають різні довжини а деякі кути тупими (не має прямих кутів). Деякі джерела називають його паралелограмом, що не є ромбом.^[1]
• Прямокутник: всі чотири кути є прямими кутами. Еквівалентно: діагоналі мають однакову довжину і при перетині діляться навпіл. До прямокутників відноситься і квадрат.
• Квадрат: всі чотири сторони мають однакову довжину, а чотири кути є прямими. Діагоналі перетинають одна одну навпіл і під прямим кутом, а також мають однакову довжину. Чотирикутник є квадратом тоді і лише тоді, коли він одночасно є ромбом і прямокутником (чотири рівні сторони і чотири однакові кути).
• Дельтоїд: дві пари прилеглих сторін мають однакову довжину. З цього випливає, що одна з діагоналей розділяє дельтоїд на конгруентні трикутники, і два кути між парами нерівних сторін мають однакову величину. Також, його діагоналі є перпендикулярними. До дельтоїдів відноситься ромб.

• Описаний чотирикутник: чотири сторони є дотичними до вписаного кола. Опуклий чотирикутник може описати коло тоді і лише тоді коли суми його протилежних сторін рівні.
• Описана трапеція: трапеція, чотири сторони якої є дотичними до вписаного кола.
• Вписаний чотирикутник: чотири вершини лежать на описаному колі. Опуклий чотирикутник є вписаним, тоді і тільки тоді коли суми протилежних кутів дорівнюють 180°.
• Прямокутний дельтоїд: дельтоїд, дві протилежні кути якого є прямими. Він є одним із видів вписаних чотирикутників.
• Біцентричний чотирикутник: чотирикутник, який одночасно є вписаним у коло і описаним колом.
• Ортодіагональний чотирикутник: діагоналі перетинаються під прямим кутом.
• Зовні-описаний чотирикутник: продовження чотирьох сторін є дотичними до зовнішнього кола.
• Зовні-біцентричний чотирикутник: зовні-описаний чотирикутник, який є одночасно вписаним.

В увігнутих чотирикутників, один із внутрішніх кутів є більшим за 180° а одна із двох діагоналей лежить за межами чотирикутника.

До складних чотирикутників відносять не правильні чотирикутники, грані яких перетинаються. Такі чотирикутники перетинають самі себе і мають ряд не формальних назв: перехрещений чотирикутник, чотирикутник-метелик або бантик. Сума внутрішніх кутів перехрещеного чотирикутника буде дорівнювати 720°, а два внутрішні кути в ньому є розгорнутими і знаходяться ззовні. Тобто перехрещеного чотирикутника, чотири «внутрішні» кути знаходяться по обидві сторони перетину (два гострих і два розгорнутих, всі з лівої сторони або з правою, в залежності від того в якому порядку перераховуються).^[2]

• Перехрещена трапеція^[3]: перехрещений чотирикутник, в якому (як у трапеції) одна пара не суміжних сторін є паралельною
• Антипаралелограм: перехрещений чотирикутник в якого (як в паралелограма) кожна пара не суміжних сторін мають однакову довжину.
• Перехрещений прямокутник: це антипаралелограм, сторонами якого є дві протилежні сторони і дві діагоналі звичайного прямокутника, таким чином від має одну пару протилежних сторін, що є паралельними.
• Перехрещений квадрат: особливий випадок перехрещеного прямокутника, в якого дві сторони перетинаються під прямими кутами.

Хоча така назва може бути еквівалентна чотирикутнику, в неї часто вкладають додатковий сенс. Четвірка прямих, ніякі дві з яких не паралельні і ніякі три не проходять через одну точку, називається повним чотирибічником. Така конфігурація зустрічається в деяких твердженнях евклідової геометрії (наприклад, теорема Менелая, пряма Ньютона - Гауса, пряма Обера, Теорема Мікеля тощо), в яких часто всі прямі є взаємозамінними.

Двома діагоналями опуклого чотирикутника є відрізки, що сполучають протилежні вершини.

Двома бімедіанами (англ. bimedians) опуклого чотирикутника є відрізки, що сполучають середини протилежних сторін^[4]. Вони перетинаються у точці, яка називається «центроїдом» вершин чотирикутника.

Також в опуклому чотирикутнику бівисотою (англ. maltitude) будемо називати висоту, яка має основу у середині протилежної сторони^[5]. Всього у чотирикутнику можна провести чотири бівисоти.

Існує декілька загальних формул розрахунку площі S опуклого чотирикутника ABCD із сторонами a = AB, b = BC, c = CD і d = DA.

Площа чотирикутника може бути задана за допомогою тригонометричних функцій таким чином:

${\displaystyle S=\frac{1}{2}ef\cdot \sin \theta ,}$

де довжини кожної діагоналі задані як e і f, а кут між ними дорівнює θ.^[6] У випадку коли діагоналі перпендикулярні (тобто для ромба, квадрата і дельтоїда), ця формула спрощується до ${\displaystyle S=\frac{1}{2}ef}$ оскільки θ дорівнює 90°.

Площу можна розрахувати через бімедіани таким чином^[7]

${\displaystyle S=mn\cdot \sin \phi ,}$

Де довжини медіан дорівнюють m і n, а кут між ними дорівнює φ.

Формула Бретшнайдера^[8] визначає площу черед дві сторони і два протилежних кута:

${\displaystyle \begin{array}{cc}S& =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{2}abcd[1+\cos (\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }C)]}\\ & =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\left[{\cos }^2\left(\frac{\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }C}{2}\right)\right]}\end{array}}$

де сторони відповідно задані як a, b, c, d, і де s є півпериметром, а A і C є двома (будь-якими) протилежними кутами. Для вписаного чотирикутника цей вираз спрощується до формули Брамагупти, оскільки A + C = 180°.

Іншою формулою для розрахунку площі через кути і сторони, де кут C знаходиться між сторонами b і c, а кут A між сторонами a та d, є

${\displaystyle S=\frac{1}{2}ad\cdot \sin A+\frac{1}{2}bc\cdot \sin C.}$

У випадку із вписаним чотирикутником, остання формула скорочується до ${\displaystyle S=\frac{1}{2}(ad+bc)\sin A.}$

Для паралелограма, де обидві пари протилежних сторін і кутів є рівними, ця формула в свою чергу спрощується до виразу ${\displaystyle S=ab\cdot \sin A.}$

Альтернативним чином, можна визначити площу чотирикутника через сторони і кут перетину його діагоналей θ, для тих випадків доки цей кут не дорівнює 90°:^[9]

${\displaystyle S=\frac{|\mathrm{t}\mathrm{g}\theta |}{4}\cdot |a^2+c^2-b^2-d^2|.}$

У випадку з паралелограмом, остання формула буде виглядати як ${\displaystyle S=\frac{1}{2}|\mathrm{t}\mathrm{g}\theta |\cdot |a^2-b^2|.}$

Іншою формулою, що містить сторони a, b, c, d є^[7]

${\displaystyle S=\frac{1}{4}\sqrt{(2(a^2+c^2)-4x^2)(2(b^2+d^2)-4x^2)}\sin \phi }$

де x є відстанню між середніми точками діагоналей, а φ є кутом між бімедіанами.

І ще однією тригонометричною формулою, що містить сторони a, b, c, d і кут α між a і b є:

${\displaystyle S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \alpha +\frac{1}{4}\sqrt{4c^2{d}^2-(c^2+d^2-a^2-b^2+2ab\cdot \cos \alpha {)}^2},}$

що може використовуватися і як площа увігнутого чотирикутника (що має увігнуту частину протилежну до кута α) змінивши перший знак + на -.

Дві наступні формули задають площу S чотирикутника через сторони a, b, c, d, напівпериметр s, і діагоналі e, f:

${\displaystyle S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)},}$^[10]

${\displaystyle S=\frac{1}{4}\sqrt{4e^2{f}^2-{(a^2+c^2-b^2-d^2)}^2}.}$^[11]

Перше рівняння зводиться до формули Брахмагупти для вписаного чотирикутника, оскільки в такому випадку ef = ac + bd.

Площу також можна задати через бімедіани m, n і діагоналі e, f:

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{(m+n+e)(m+n-e)(m+n+f)(m+n-f)},}$^[12]

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{e^2{f}^2-(m^2-n^2{)}^2}.}$^{[13]:Thm. 7}

Насправді, будь-яке з трьох значень m, n, e, і f є достатнім для визначення площі, оскільки для будь-якого чотирикутника ці чотири значення пов'язані рівнянням ${\displaystyle e^2+f^2=2(m^2+n^2).}$^{[14]:p. 126} Відповідними спрощеними виразами будуть такі рівняння для розрахунку площі:^[15]

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{[(m+n{)}^2-e^2]\cdot [e^2-(m-n{)}^2]},}$

якщо дані довжини двох бімедіан і діагональ, і^[15]

${\displaystyle S=\frac{1}{4}\sqrt{[(e+f{)}^2-4m^2]\cdot [4m^2-(e-f{)}^2]},}$

якщо відомі довжини двох діагоналей і одна бімедіана.

Площу чотирикутника ABCD можна розрахувати за допомогою векторів. Нехай вектори AC і BD утворюють діагоналі від A до C і від B до D. Площа чотирикутника тоді дорівнюватиме

${\displaystyle S=\frac{1}{2}|𝐀𝐂\times 𝐁𝐃|,}$

що є половиною величини векторного добутку векторів AC і BD. У двовимірному Евклідовому просторі, вектор AC можна задати у вигляді вектора у Декартовому просторі як (x₁,y₁) і вектор BD як (x₂,y₂), тому рівняння можна переписати таким чином:

${\displaystyle S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|.}$

1. Добутки площ трикутників, утворених частинами діагоналей від їх країв до їх перетину і протилежними сторонами чотирикутника, рівні.
2. Сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360°.
3. У будь-якому вписаному чотирикутнику суми протилежних кутів дорівнють 180°.
4. У будь-якому описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні.

Довжини діагоналей опуклого чотирикутника ABCD із відповідними вершинами A, B, C, D і сторонами a = AB, b = BC, c = CD, і d = DA, довжини діагоналей p = AC і q = BD можна розрахувати за допомогою теореми косинусів для кожного трикутника, що утворені діагоналями і двома сторонами чотирикутника. Таким чином

${\displaystyle p=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos B}=\sqrt{c^2+d^2-2cd\cos D}}$

і

${\displaystyle q=\sqrt{a^2+d^2-2ad\cos A}=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos C}.}$

Інші, більш симетричні формули для знаходження довжин діагоналей:^[16]

${\displaystyle p=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos B+\cos D)}{ab+cd}}}$

і

${\displaystyle q=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos A+\cos C)}{ad+bc}}.}$

Для будь-якого опуклого чотирикутника ABCD, сума квадратів чотирьох сторін дорівнює сумі квадратів двох діагоналей плюс чотири квадрати відрізка, що сполучає середні точки діагоналей. Тобто

${\displaystyle a^2+b^2+c^2+d^2=p^2+q^2+4x^2}$

де x це відстань між середніми точками діагоналей.^[14]:p.126 Це рівняння відоме як теорема Ейлера про чотирикутник і є узагальненням для правила паралелограма.

Німецький математик Карл Антон Бретшнейдер в 1842 вивів наступне узагальнення для теореми Птолемея, стосовно добутку діагоналей опуклого чотирикутника^[17]

${\displaystyle p^2{q}^2=a^2{c}^2+b^2{d}^2-2abcd\cos (A+C).}$

Це рівняння можна вважати аналогічним до теореми косинусів для чотирикутника. Для вписаного чотирикутника, в якого ${\displaystyle (A+C)=180^{\circ }}$, це рівняння спрощується до pq = ac + bd. Оскільки ${\displaystyle \cos (A+C)⩾-1}$, таким чином, це також доводить нерівність Птолемея.

Бімедіанами чотирикутника є такі лінійні відрізки, що сполучають середні точки його протилежних сторін. Перетином бімедіан є центроїд вершин чотирикутника.^[18]

Середні точки будь-якого чотирикутника (опуклого, увігнутого або перехрещеного) є вершинами паралелограма, що називається паралелограмом Варіньона. Він має такі властивості:

• Кожна пара протилежних сторін паралелограма Варіньона є паралельними діагоналі початкового чотирикутника.
• Сторона паралелограма Варіньона має довжину, що дорівнює половині довжини діагоналі початкового чотирикутника до якої ця сторона є паралельною.
• Площа паралелограма Варіньона дорівнює половині площі початкового чотирикутника. Це є вірним для опуклих, увігнутих і перехрещених чотирикутників, де площа останнього задається як різниці площ трикутників з яких він складається.^[19]
• Периметр паралелограма Варіньона дорівнює сумі довжин діагоналей початкового чотирикутника.
• Діагоналі паралелограма Варіньона є бімедіанами початкового чотирикутника.

Дві бімедіани чотирикутника і лінійні відрізки, що сполучають середні точки діагоналей в тому чотирикутнику є конкурентними прямими і всі поділяються навпіл точкою їх перетину.^[14]:p.125

Для опуклого чотирикутника із сторонами a, b, c і d, довжина бімедіани, що сполучає середні точки сторін a і c дорівнюватиме

${\displaystyle m=\frac{1}{2}\sqrt{-a^2+b^2-c^2+d^2+p^2+q^2}}$

де p і q є довжинами діагоналей.^[20] Довжина бімедіани, що сполучає середні точки сторін b і d дорівнює

${\displaystyle n=\frac{1}{2}\sqrt{a^2-b^2+c^2-d^2+p^2+q^2}.}$

Отже^[14]:p.126

${\displaystyle {\displaystyle p^2+q^2=2(m^2+n^2).}}$

Це також є наслідком застосування правила паралелограма до паралелограма Варіньона.

Довжину бімедіан також можна виразити через дві протилежні сторони і відстань x між середніми точками діагоналей. Це можна отримати застосувавши теорему Ейлера для чотирикутників щодо вищезгаданих формул. Звідки отримаємо^[13]

${\displaystyle m=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+d^2)-4x^2}}$

і

${\displaystyle n=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-4x^2}.}$

Зверніть увагу, що дві протилежні сторони в цих формулах не є тими двома сторонами, що сполучає бімедіана.

Для опуклого чотирикутника є справедливим такий дуальний взаємозв'язок між бімедіанами і діагоналями:^[21]

• Дві бімедіани мають однакову довжину тоді і лише тоді, коли дві діагоналі є перпендикулярними.
• Дві бімедіани є перпендикулярними, толі і лише тоді, коли дві діагоналі мають однакову довжину.

Чотири кути простого чотирикутника ABCD задовольняють таким рівнянням:^[22]

${\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C+\sin D=4\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A+C}{2}\sin \frac{A+D}{2}}$

і

${\displaystyle \frac{\tan A\tan B-\tan C\tan D}{\tan A\tan C-\tan B\tan D}=\frac{\tan (A+C)}{\tan (A+B)}.}$

Також,^[23]

${\displaystyle \frac{\tan A+\tan B+\tan C+\tan D}{\cot A+\cot B+\cot C+\cot D}=\tan A\tan B\tan C\tan D.}$

У двох останніх формулах, жоден з кутів не може бути прямим кутом, оскільки тангенс 90° є не визначеним.

Якщо опуклий чотирикутник має сторони a, b, c, d і діагоналі p, q, тоді його площа S задовольняє нерівностям^[24]

${\displaystyle S\le \frac{1}{4}(a+c)(b+d)}$, що буде рівністю лише для прямокутника.

${\displaystyle S\le \frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2+d^2)}$ , що буде рівністю лише для квадрата.

${\displaystyle S\le \frac{1}{4}(p^2+q^2)}$, що буде рівністю лише якщо дві діагоналі є перпендикулярними і мають однакову довжину.

${\displaystyle S\le \frac{1}{2}\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+d^2)}}$, що є рівністю лише для прямокутника.^[7]

Із формули Бретшнайдера прямо випливає, що площа чотирикутника задовольнятиме нерівності

${\displaystyle S\le \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

що буде рівністю тоді й лише тоді коли чотирикутник є вписаним чотирикутником або виродженим, тобто таким що довжина однієї зі сторін дорівнюватиме сумі довжин інших трьох (тобто він перетворився у відрізок, тому його площа дорівнює нулю).

Площа будь-якого чотирикутника також задовольнятиме нерівності^[25]

${\displaystyle {\displaystyle S\le \frac{1}{2}\sqrt[3]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}.}}$

Позначивши периметр чотирикутника як L, матимемо наступне^[25]:p.114

${\displaystyle S\le \frac{1}{16}{L}^2,}$

що буде рівністю лише для випадку із квадратом.

Площа опуклого чотирикутника також задовольняє:

${\displaystyle S\le \frac{1}{2}pq}$

де довжини діагоналей задані як p і q, що буде рівністю лише за умови, що діагоналі перпендикулярні одна одній.

Наслідком із теореми Ейлера про чотирикутники є така нерівність

${\displaystyle a^2+b^2+c^2+d^2\ge p^2+q^2}$

де рівність буде справедливою, тоді й тільки тоді коли чотирикутник є паралелограмом.

Ейлер також узагальнив теорему Птолемея, що є рівністю для вписаного чотирикутника, у нерівність для опуклого чотирикутника. Нерівність задає таке:

${\displaystyle pq\le ac+bd}$

що буде рівністю тоді й лише тоді, коли чотирикутник є вписаним.^{[14]:p.128–129}.

В опуклому багатокутнику бімедіани m, n і діагоналі p, q пов'язані між собою нерівністю

${\displaystyle pq\le m^2+n^2,}$

де рівність буде справедливою тоді і лише тоді, коли діагоналі є рівними.^[26]:Prop.1 Це прямо випливає із рівності для чотирикутника ${\displaystyle m^2+n^2=\frac{1}{2}(p^2+q^2).}$

Сторони a, b, c, і d будь-якого чотирикутника задовольняють нерівностям^{[27]:p.228,#275}

${\displaystyle a^2+b^2+c^2>\frac{d^2}{3}}$

і ^{[27]:p.234,#466}

${\displaystyle a^4+b^4+c^4\ge \frac{d^4}{27}.}$

Чотирикутник, що не знаходиться в площині називається просторовим чотирикутником або косим чотирикутником. Формули для розрахунку його двогранних кутів при відомих довжинах ребер і кутів між двома прилеглими ребрами були отримані при вивчені властивостей молекул, таких як молекули циклобутана, які містять «замкнуте» кільце із чотирьох атомів.^[28][29] Косий чотирикутник разом із своїми діагоналями утворює (не обов'язково правильний) тетраедр, і навпаки, кожен косий чотирикутник утворений із тетраедра, в якого усунута пара протилежних ребер.

• Трапеція
• Прямокутник
• Паралелограм
• Ромб
• Квадрат
• Гармонійний чотирикутник
• Вписаний чотирикутник
• Описаний чотирикутник
• Узагальнений чотирикутник

• Великий довідник школяра: 5-11 класи — Харків: Школа, 2003, ISBN 966-8114-20-5