Супереліпс

Супереліпс
Супереліпси (криві Ламе)
Належить до класів	алгебрична крива і плоска крива
Рівняння	${\displaystyle {\left|\frac{x}{a}\right|}^n+{\left|\frac{y}{b}\right|}^n=1}$
Названо на честь	Габрієль Ламе
Супереліпс у Вікісховищі

Супереліпс (крива Ламе) — плоска крива, що у декартових координатах описується рівнянням:

${\displaystyle {\left|\frac{x}{a}\right|}^n+{\left|\frac{y}{b}\right|}^n=1,}$

де ${\displaystyle n>0}$;

${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ — радіуси (півосі) супереліпса.

Для випадку n = 2 отримуємо еліпс (у частковому випадку, при a = b — коло), а при ${\displaystyle n=1}$ — ромб з діагоналями ${\displaystyle 2a}$ та ${\displaystyle 2b}$. Коли збільшувати ${\displaystyle n}$ до нескінченості, крива прямує за формою до прямокутника; натомість коли ${\displaystyle n}$ прямує до нуля, крива набуває хрестоподібної форми.

Фігури, що отримані для n < 2 ще називають «гіпоеліпс», а для n > 2 — «гіпереліпс».

• 
• 
• 
• 

Супереліпс може бути описаний парою рівнянь в параметричній формі:

${\displaystyle \begin{array}{cc}x\left(\theta \right)& =\pm a{\cos }^{\frac{2}{n}}\theta \\ y\left(\theta \right)& =\pm b{\sin }^{\frac{2}{n}}\theta \end{array}\}0\le \theta <\frac{\pi }{2}}$

або

${\displaystyle \begin{array}{cc}x\left(\theta \right)& ={|\cos \theta |}^{\frac{2}{n}}\cdot a\mathrm{sgn}(\cos \theta )\\ y\left(\theta \right)& ={|\sin \theta |}^{\frac{2}{n}}\cdot b\mathrm{sgn}(\sin \theta ).\end{array}}$

Площа супереліпса виражається формулою

${\displaystyle S=4ab\frac{{\left(\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{n})\right)}^2}{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{n})}.}$

Криві вперше були записані і вивчені французьким математиком Габрієлем Ламе, тому їх ще називають «криві Ламе».

Популяризацією цих кривих в архітектурі та при проектуванні предметів щоденного вжитку займався данський вчений, письменник, винахідник та інженер Піт Хейн (дан. Piet Hein; 1905—1996). У 1959 році архітектурне управління Стокгольма оголосило конкурс на проектування перехрестя з коловим рухом навколо площі Сергельсторг. Піт Хейн став переможцем конкурсу з пропозицією реалізувати транспортне кільце у вигляді супереліпса з n = 2,5 та a/b = 6/5^[1]. Реконструкцію площі було закінчено у 1967 році. Хейн використовував супереліпс в інших дизайнерських розробках — ліжках, тарілках, столах^[2]. При обертанні супереліпса навколо довгої осі, він отримав «суперяйце», яке стало популярною іграшкою за свою здатність на відміну від звичного яйця стояти вертикально на плоскій поверхні.

У 1968 році, коли делегації на переговорах в Парижі по війні у В'єтнамі не могли прийти до згоди щодо форми стола, було запропоновано стіл у вигляді супереліпса^[1]. Супереліптичну форму має стадіон «Ацтека» в Мехіко, головний стадіон Олімпійських ігор 1968 року.

На логотипі футбольної команди «Піттсбург Стілерс» зображені три чотирикутних зірки, що є супереліпсами з n = 0,5.

Супереліпс може розглядатись як частковий випадок суперформули, записаної у 1997 році бельгійським вченим Йоханом Джилісом (англ. Johan Gielis). Тривимірним відповідником супереліпса є суперквадрікс (англ. Superquadrics). В частковому випадку, коли a = b = 1 та n парне ціле число, супереліпс є кривою Ферма степеня n.

• Астроїда — супереліпс з n = 2/3 і a = b, гіпоциклоїда з чотирма кутами.
  • Дельтоїда — трикутна гіпоциклоїда.
• Сквиркл — супереліпс n = 4 і a = b, що виглядає як «чотирикутне колесо».
  • Трикутник Рело — «трикутне колесо».

• Супереліпс [Архівовано 21 січня 2012 у Wayback Machine.] (англ.) в енциклопедії MathWorld