Фібоноріал

У математиці Фібоноріал ${\displaystyle n!_{F}}$, інша назва факторіал Фібоначчі, де ${\displaystyle n}$ — невід'ємне ціле число, визначається як добуток перших ${\displaystyle n}$ додатних чисел Фібоначчі, тобто

${\displaystyle {n!}_{F}:=\prod _{i=1}^{n}F_{i},\quad n\geq 0,}$

де ${\displaystyle F_{i}}$ — ${\displaystyle i^{\rm {th}}}$ число Фібоначчі, а ${\displaystyle 0!_{F}}$ — порожній добуток (визначений, як нейтральний елемент, тобто 1).

Фібоноріал ${\displaystyle n!_{F}}$ визначається аналогічно факторіалу ${\displaystyle n!}$. Фібонаріальні числа використовуються у визначенні фібономіальних коефіцієнтів аналогічно тому, як факторіали використовуються для визначення біноміальних коефіцієнтів.

Ряд фібонаріалів є асимптотичним для функції золотого перерізу

${\displaystyle \varphi \colon \ n!_{F}\sim C{\frac {\varphi ^{n(n+1)/2}}{5^{n/2}}}.}$

Тут фібонаріальна константа (також її називають факторіальною константою Фібоначчі)^[1] ${\displaystyle C}$ визначається як ${\displaystyle C=\prod _{k=1}^{\infty }(1-a^{k})}$, де ${\displaystyle a=-{\frac {1}{\varphi ^{2}}}}$ і ${\displaystyle \varphi }$ — число золотого перерізу.

Наближене значення ${\displaystyle C}$ становить 1,226742010720 (див. послідовність A062073 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS для більшої кількості знаків).

Майже-фібонаріальні числа:

${\displaystyle n!_{F}-1}$.

Майже-фібонаріальні прості числа: прості числа серед майже-фібонаріальних чисел.

Квазі-фібонаріальні числа:

${\displaystyle n!_{F}+1.}$

Квазі-фібонаріальні прості числа: прості числа серед квазі-фібоноріальних чисел.

Фібонаріал можна представити через ${\displaystyle q}$-факторіал і золотий переріз ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$:

${\displaystyle n!_{F}=\varphi ^{\binom {n}{2}}\,[n]_{-\varphi ^{-2}}!.}$

 A003266 Добуток перших ${\displaystyle n}$ ненульових чисел Фібоначчі ${\displaystyle F(1),...,F(n)}$.

 A059709 та  A053408 для ${\displaystyle n}$ таких, що ${\displaystyle n!_{F}-1}$ і ${\displaystyle n!_{F}+1}$ є простими числами.