YaChudo

Асимптота

Переглядів: 0. Оновлено 10.10.2026.

Для гіперболи y = 1 x {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} асимптотами є осі абсцис і ординат. Крива може наближатись до своєї асимптоти, залишаючись по один бік від неї
Похила асимптота U V {\displaystyle UV} плоскої кривої «декартів лист» ( x 3 + y 3 = 3 a x y {\displaystyle \textstyle x^{3}+y^{3}=3axy} ) описується рівнянням x + y + a = 0 {\displaystyle x+y+a=0}

Асимпто́та криво́ї (грец. ασυμπτωτος — що не збігається, не дотикається) — це пряма, до якої крива при віддаленні в нескінченність наближається як завгодно близько.

Якщо крива, задана рівнянням y = f(x), віддаляється в нескінченність при наближенні x до скінченної точки a, то пряма x = a називається вертикальною асимптотою цієї кривої.

Види асимптот:

  • Вертикальна
  • Горизонтальна
  • Похила

Такими асимптотами є пряма x = 0 для гіперболи y = 1 / x {\displaystyle y=1/x} кожна з прямих x = k π ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) {\displaystyle x=k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots )} для функції y = c t g ( x ) {\displaystyle y=ctg(x)} .

Крім вертикальної асимптоти x = 0 гіпербола y = 1/x має ще й горизонтальну асимптоту у = 0, як і графік функції y = e − x s i n ( x ) {\displaystyle y=e^{-x}sin(x)} , проте він, на відміну від гіперболи, перетинає свою горизонтальну асимптоту нескінченну кількість раз.

Криві, що описуються рівняннями x 3 + y 3 = 3 a x y {\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy} (декартів лист), та y = 1 x + x {\displaystyle y={\frac {1}{x}}+x} мають похилу асимптоту.


Коефіцієнти k і b в рівнянні прямої y = k x + b {\displaystyle y=kx+b}  — похилої асимптоти кривої y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} при віддаленні до плюс чи мінус нескінченності, знаходять як границі: k = lim x → ∞ ( f ( x ) x ) ; b = lim x → ∞ ( f ( x ) − k x ) . {\displaystyle k=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {f(x)}{x}}\right);\quad b=\lim _{x\to \infty }\left(f(x)-kx\right).}

Горизонтальна асимптота є частковим випадком похилої при k = 0. Дослідження асимптот дозволяє чіткіше уявити поведінку графіка функції, оскільки властивості функції поблизу її асимптоти дуже близькі до властивостей асимптоти — лінійної функції, властивості якої добре вивчені. Систематичне використання цієї властивості породило напрямок у сучасній математиці — «асимптотичні методи дослідження».

Не всі криві мають асимптоти. Наприклад, парабола асимптот не має.

Див. також

Джерела

Джерело: стаття у Вікіпедії та історія редагувань (автори).