Q-символ Похгаммера

Q-символ Похгаммера, який називають також зсунутим q-факторіалом^[1][2] — q-аналог символу Похгаммера і визначається він як

${\displaystyle (a;q{)}_n=\prod _{k=0}^{n-1}(1-a{q}^k)=(1-a)(1-aq)(1-a{q}^2)\cdots (1-a{q}^{n-1})}$ ,

при цьому

${\displaystyle (a;q{)}_0=1}$

за визначенням. Q-символ Похгаммера є головним будівельним блоком у побудові q-аналогів. Наприклад, у теорії базисних гіпергеометричних рядів q-символ Похгаммера відіграє роль, як і звичайний символ Похгаммера в теорії узагальнених гіпергеометричних рядів.

На відміну від звичайного символу Похгаммера, q-символ Похгаммера можна розширити до нескінченного добутку:

${\displaystyle (a;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-a{q}^k).}$

Це аналітична функція від q всередині одиничного кола і може сприйматися як формальний степеневий ряд від q. Окремий випадок

${\displaystyle \phi (q)=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^k)}$

відомий як функція Ейлера і грає важливу роль в комбінаториці, теорії чисел і теорії модулярних форм .

Скінченний добуток можна виразити через нескінченний:

${\displaystyle (a;q{)}_n=\frac{(a;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(a{q}^n;q{)}_{\mathrm{\infty }}},}$

що розширює визначення для від'ємних цілих n. Таким чином, для невід'ємного n маємо

${\displaystyle (a;q{)}_{-n}=\frac{1}{(a{q}^{-n};q{)}_n}=\prod _{k=1}^n\frac{1}{(1-a/q^k)}}$

і

${\displaystyle (a;q{)}_{-n}=\frac{(-q/a{)}^n{q}^{n(n-1)/2}}{(q/a;q{)}_n}.}$

Q-символ Похгаммера бере участь у багатьох тотожностях з q-рядами, зокрема в нескінченному розширенні рядів

${\displaystyle (x;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{q}^{n(n-1)/2}}{(q;q{)}_n}{x}^n}$

і

${\displaystyle \frac{1}{(x;q{)}_{\mathrm{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{(q;q{)}_n}}$ ,

які є окремими випадками q-біноміальної теореми:

${\displaystyle \frac{(ax;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(x;q{)}_{\mathrm{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a;q{)}_n}{(q;q{)}_n}{x}^n.}$

Фрідріх Карпелевич знайшов таку тотожність (див. доведення в статті Ольшанецького і Рогова^[3]):

${\displaystyle \frac{(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(z;q{)}_{\mathrm{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{q}^{n(n+1)/2}}{(q;q{)}_n(1-z{q}^n)},|z|<1.}$

Q-символ Похгаммера тісно пов'язаний з нумераційною комбінаторикою розбиттів. Коефіцієнт при ${\displaystyle q^m{a}^n}$ в

${\displaystyle (a;q{)}_{\mathrm{\infty }}^{-1}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-a{q}^k{)}^{-1}}$

дорівнює числу розбиттів m на не більше ніж n частин.

Оскільки це те ж саме, що розбиття m на частини, кожна з яких не перевищує n, отримуємо таку тотожність:

${\displaystyle (a;q{)}_{\mathrm{\infty }}^{-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\prod _{j=1}^k\frac{1}{1-q^j}\right)a^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^k}{(q;q{)}_k}}$ ,

як в розділі вище.

Коефіцієнт при ${\displaystyle q^m{a}^n}$ в

${\displaystyle (-a;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1+a{q}^k)}$

дорівнює числу розбиттів числа m на n або n -1 різних частин.

Якщо видалити трикутне розбиття з n — 1 частинами з такого розбиття, ми залишимося з деяким розбивкою на не більше ніж n частин. Це дає бієкцію зі збереженням ваги між множиною розбиттів на n або n — 1 різних частин і множиною пар, що складаються з трикутного розбиття, яке містить n — 1 частин, і розбиття на не більше ніж n частин. Це приводить до тотожності:

${\displaystyle (-a;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1+a{q}^k)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(q^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2})}\prod _{j=1}^k\frac{1}{1-q^j}\right)a^k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2})}}{(q;q{)}_k}{a}^k}$

також описану вище. Обернена (в сенсі 1/f) функція для ${\displaystyle (q{)}_{\mathrm{\infty }}:=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}$ виникає аналогічним чином як твірна функція для функції розбиття числа, ${\displaystyle p(n)}$, яка також розкладається в такі два q-ряди^[4]:

${\displaystyle \frac{1}{(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}=\sum _{n\ge 0}p(n)q^n=\sum _{n\ge 0}\frac{q^n}{(q;q{)}_n}=\sum _{n\ge 0}\frac{q^{n^2}}{(q;q{)}_n^2}.}$

Q-біноміальна теорема саму можна довести за допомогою трохи більшого використання схожих комбінаторних аргументів.

Оскільки в тотожностях, що використовують q-символ Похгаммера, часто використовується добуток багатьох символів, домовились записувати добуток у вигляді одного символу з декількома аргументами:

${\displaystyle (a_1,a_2,\dots ,a_m;q{)}_n=(a_1;q{)}_n(a_2;q{)}_n\dots (a_m;q{)}_n.}$

Q -ряд — це ряд, у якому коефіцієнти є функціями від q, зазвичай у вигляді виразів з ${\displaystyle (a;q{)}_n}$^[4]. Ранні результати належать Ейлеру, Гауссу і Коші. Систематичне вивчення почав Едуард Гейне (1843)^[5].

${\displaystyle \underset{q\to 1}{lim}\frac{1-q^n}{1-q}=n,}$

ми визначаємо q-аналог числа n, відомий також як q-дужка або q-число числа n, рівним

${\displaystyle [n{]}_q=\frac{1-q^n}{1-q}.}$

Звідси ми можемо визначити q-аналог факторіала, q-факторіал

Знову можна виявити, що звичайний факторіал дорівнює границі при q, яке прямує до 1. Це можна інтерпретувати як число прапорів у n-вимірному векторному просторі над полем з q елементами, а перехід q в границі до 1 дає інтерпретацію упорядкування як прапора у векторному просторі над полем з одним елементом.

Добуток від'ємних цілих q-дужок можна виразити в термінах q-факторіала так:

${\displaystyle \prod _{k=1}^n[-k{]}_q=\frac{(-1{)}^n[n{]}_q!}{q^{n(n+1)/2}}}$

Від q-факторіалів можна перейти до визначення q-біноміальних коефіцієнтів, відомих також як гауссові коефіцієнти, гауссові многочлени або гауссові біноміальні коефіцієнти, в такий спосіб

${\displaystyle {\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]}_q=\frac{[n{]}_q!}{[n-k{]}_q![k{]}_q!},}$

звідки легко бачити, що трикутник цих коефіцієнтів симетричний у тому сенсі, що ${\displaystyle {\left[\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right]}_q={\left[\begin{array}{c}n\\ n-m\end{array}\right]}_q}$ для всіх ${\displaystyle 0⩽m⩽n}$ .

Можна показати, що

${\displaystyle \begin{array}{cc}{\left[\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}\right]}_q& ={\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]}_q+q^{n-k+1}{\left[\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right]}_q\\ & ={\left[\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right]}_q+q^k{\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]}_q.\end{array}}$

З наведених вище рекурсивних відношень можна помітити, що такі варіанти ${\displaystyle q}$-біноміальної теореми є розширеннями в термінах цих коефіцієнтів^[6]:

${\displaystyle \begin{array}{cc}(z;q{)}_n& =\sum _{j=0}^n{\left[\begin{array}{c}n\\ j\end{array}\right]}_q(-z{)}^j{q}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{2})}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-z{q}^{n-1})\\ (-q;q{)}_n& =\sum _{j=0}^n{\left[\begin{array}{c}n\\ j\end{array}\right]}_{q^2}{q}^j\\ (q;q^2{)}_n& =\sum _{j=0}^{2n}{\left[\begin{array}{c}2n\\ j\end{array}\right]}_q(-1{)}^j\\ \frac{1}{(z;q{)}_{m+1}}& =\sum _{n\ge 0}{\left[\begin{array}{c}n+m\\ n\end{array}\right]}_q{z}^n.\end{array}}$

Можна отримати q-аналог гамма-функції, званий q-гамма-функцією і визначений як

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_q(x)=\frac{(1-q{)}^{1-x}(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(q^x;q{)}_{\mathrm{\infty }}}}$

Функція збігається до звичайної гамма-функції при q, яке прямує до 1 зсередини диска. Зауважимо, що

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_q(x+1)=[x{]}_q{\mathrm{\Gamma }}_q(x)}$

для будь-якого x і

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_q(n+1)=[n{]}_q!\frac{}{}.}$

для невід'ємних цілих значень n. Альтернативно, функцію можна взяти як розширення q-факторіала в системі дійсних чисел.

• Базисні гіпергеометричні ряди
• Еліптична гамма-функція
• Тета-функція Якобі
• Символ Похгаммера
• q-похідна
• q-тета-функція
• Теорема про п'ятикутні числа
• Тотожності Роджерса — Рамануджана
• Неперервний дріб Роджерса — Рамануджана
• q-тотожність Вандермонда

• Weisstein, Eric W. q-аналог(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-дужка(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-факторіал(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-ряди(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. q-біноміальний коефіцієнт(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.