Трикутник Серпінського

Трикутник Серпінського
Названо на честь	Вацлав Серпінський
Відкритий	1915
Трикутник Серпінського у Вікісховищі

Трикутник Серпінського — фрактал, один із двовимірних аналогів множини Кантора. Його математичний опис був запропонований польським математиком Вацлавом Серпінським в 1915 році^[1]. Цей трикутник є одним з найбільш ранніх прикладів фракталів, відомих з середньовіччя.

Даний фрактал належить до фракталів, які отримують поетапним вилученням частин генератора, тобто до геометричних. Також відомий як «серветка» або «решітка» Серпінського.

Існує кілька способів побудови цього фракталу.

Існує дуже багато способів побудови трикутника Серпінського, їх можна поділити на такі типи:

• Геометричні методи;
• Метод ігор;
• Трикутник Серпінського як результат перетворення трикутника Паскаля;
• Аналітичне задання фракталів з допомогою комплексних чисел;
• Задання фракталів за допомогою систем ітерованих функцій;
• Побудова через кола, круги та ін.;

Найпростішим способом побудови є такий: Береться рівносторонній трикутник. На першому кроці видаляється трикутник з вершинами в середині сторін початкового трикутника. На другому кроці аналогічні трикутники із трьох менших трикутників, які залишилися після першого кроку, і т. д.^[2] Після нескінченного повторення цієї процедури, від суцільного трикутника залишається підмножина — трикутник Серпінського.

• Трикутник Серпінського замкнутий.
• Трикутник Серпінського має топологічну розмірність 1.
• «Площа»  трикутного килима Серпінського дорівнює нулю.
• Важливою властивістю трикутника Серпінського є його самоподібність, адже він складається з трьох своїх копій, зменшених удвічі.
• Має розмірність Гаусдорфа ${\displaystyle =\ln 3/\ln 2\approx 1,585}$. Зокрема,
  • має нульову міру Лебега.

• Якщо в трикутнику Паскаля всі непарні числа пофарбувати в чорний колір, а парні — в білий, то утворюється трикутник Серпінського.
• Утворення, схожі на трикутник Серпінського, виникає в грі Життя з довгої вертикальної лінії.
• Трикутник Серпінського — це множина тих точок початкового трикутника що не належать жодному з центральних трикутників довільного рангу, тобто нескінченність, що складається з тих точок, які не відкидаються ні на якому з цих етапів.
• Зображення трикутника Серпінського 1919 року стали мотивом кількох графічних творів відомого українського графіка Георгія Нарбута
• Варіації на тему трикутника Серпінського використано в оздобленні інтер'єру синагоги Бен-Езра, Каїр, Єгипет
• На основі трикутника Серпінського можна виготовляти багатодіапазонні фрактальні антени.^[2][3]
• Чотири перші ітерації фрактальних трикутників Серпінського використано в орнаментах геометричної мозаїки стилю косматеско в середньовічних соборах Італії (з XII століття)^[4][5][6], арабських та перських інтер'єрах^[4].

• Килим Серпінського
• Піраміда Серпінського
• Правило 90

• Jones, O. The grammar of ornament. Day and Son, London. — 1856.
• Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.