Теорія Морса

Тео́рія Мо́рса — загальна назва теорій, що ґрунтуються на ідеях Морса і описують зв'язок алгебро-топологічних властивостей топологічного простору з критичними точками гладкої функції (функціоналів) на ньому. Теорія Морса є розділом варіаційного числення в цілому; проте останнє ширше: наприклад, воно включає в себе теорію категорій в сенсі Люстерника — Шнірельмана.

• Лема Морса.

• Якщо множина ${\displaystyle f^{-1}([a,b])}$ компактна, не перетинається з краєм многовиду ${\displaystyle M}$ і містить рівно одну критичну точку, що має індекс Морса ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ діффеоморфна многовиду, отриманому з ${\displaystyle f^{-1}(a)}$ приклеюванням ручки індексу k, див. хірургія.

• Кожній функції Морса ${\displaystyle f}$ на гладкому многовиді ${\displaystyle M}$ (без края) відповідає гомотопічно еквівалентний многовиду ${\displaystyle M}$ клітинний простір, клітини якого перебувають у бієктивній відповідності до критичних точок функції ${\displaystyle f}$, причому розмірність клітини дорівнює індексу відповідної критичної точки. Важливі наслідки цього подання:
  • Нерівність Морса.
  • Інструмент для вивчення топології многовидів. Причому важливі не тільки індекси, але і кількість критичних точок. Припустимо, на замкнутому многовиді задана функція Морса ${\displaystyle f:M\to R}$, що має в точности ${\displaystyle m}$ критичних точок (індекси яких невідомі), — як це впливає на топологію многовиду?
    • Випадок ${\displaystyle m=1}$ неможливий згідно з нерівностями Морса.
    • Випадок ${\displaystyle m=2}$: Теорема Ріба про сферу стверджує, що ${\displaystyle M}$ гомеоморфно (але, взагалі кажучи, не дифеоморфно) сфері ${\displaystyle S^{n}}$.
    • Випадок ${\displaystyle m=3}$ можливий тільки в деяких малих розмірностях, при цьому ${\displaystyle M}$ гомеоморфно многовиду Ілса — Кейпера.

• Милнор Дж. Теория Морса = Morse Theory. — М. : Мир, 1965. — 184 с.
• Морс М. Вариационное исчисление в целом = The Calculus of Variations in the Large. — Ижевск : РХД, 2010. — 512 с.
• Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М. : Наука, 1971. — 568 с.