Лема Морса

Лема Морса — твердження, яке описує будову ростка гладкої дійсної функції у невиродженій критичній точці. Названа на честь видатного американського математика Марстона Морса.

Нехай $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — функція класу $\,C^{r+2}$ , де $r\geq 1$ , що має точку $0\in \mathbb {R} ^{n}$ своєю невиродженою критичною точкою, тобто в цій точці диференціал ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ овертається в нуль, а матриця Гессе ${\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr |}$ відмінна від нуля. Тоді в деякому околі $U$ точки $0$ існує така система $\,C^{r}$ -гладких локальних координат (карта) $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ з початком у точці $0$ , що для всіх $x\in U$ має місце рівність

f(x)=f(0)-x_{1}^{2}-\dots -x_{k}^{2}+x_{k+1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}

.

При цьому число $k$ , що визначається сигнатурою квадратичної частини ростка $f$ в точці $0$ , є індексом Морса критичної точки $0$ функції $f$ .

Доведення

Линійна частина функції $\,f(x)$ в точці $0$ рівна нулю, а квадратична частина невирождена. Зробимо лінійну заміну змінних $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , що зводить квадратичну частину до канонічного вигляду $x_{1}^{2}-\dots -x_{k}^{2}+x_{k+1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}$ .

Потім, двічі застосовуючи лему Адамара, представимо $\,f(x)$ у вигляді

f(x)=f(0)-x_{1}^{2}(1+h_{1}(x))-\dots -x_{k}^{2}(1+h_{k}(x))+x_{k+1}^{2}(1+h_{k+1}(x))+\dots +x_{n}^{2}(1+h_{n}(x))

,

де всі $\,h_{i}(x)$ — функциї класу $\,C^{r}$ , що обертаються в нуль в точці $0$ . Заміна змінних $x_{i}\to x_{i}{\sqrt {1+h_{i}(x)}}$ , що визначена у деякому околі точки $0$ , приводить $\,f(x)$ до необхідної форми.

Варіації та узагальнення

Теорема Тужрона.

В околі критичної точки $0$ скінченної кратності $\mu$ існує система координат, в якій гладка функція $f(x)$ має вигляд многочлена $P_{\mu +1}(x)$ ступеня $\mu +1$ (як $P_{\mu +1}(x)$ можна взяти многочлен Тейлора функції $f(x)$ у точці $0$ у вихідних координатах). У разі невиродженої критичної точки кратність $\mu =1$ , і теорема Тужрона перетворюється на лему Морса.

Лема Морса з параметрами або лема про розщеплення особливості.

Нехай $f(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}):\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R}$ — гладка функція, що має початок координат $0$ своєю критичною точкою, невиродженою за змінними $x_{1},\ldots ,x_{n}$ . Тоді в околі точки $0$ існують гладкі координати, в яких

f(x,y)=\alpha _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}^{2}\,+\,f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m}),\quad \alpha _{i}=\pm 1,

де $\,f_{0}$ — деяка гладка функція. Це твердження дозволяє звести дослідження особливості (критичної точки) функції від $n+m$ змінних до дослідження особливості функції від меншого числа змінних (а саме, від числа змінних, рівного корангу гессіана вихідної функції).

Джерела

Березанський Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функціональний аналіз : [укр.] = Functional Analysis, Vol. I, Kyiv : Institute of Mathematics, 2010. : [пер. з англ.] : підручник. — Л. : Видавець Чижиков І. Е., 2014. — С. 559. — (Університетська бібліотека). — ISBN 978-966-2645-12-5.
Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Будь-яке видання.
Хирш М. Дифференциальная топология, — Будь-яке видання.
Takens F. A note on sufficiency of jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, no 3, 1971, pp. 225—231.
Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63–69.
Даринский Б.М., Сапронов Ю.И., Царев С.Л. Бифуркация экстремалей фредгольмовых функционалов, — СМФН, 12, М., 2004, стр. 3–140.