Гіпотенуза

Гіпотенуза (від грец. ὑποτείνουσα — розтягнута) — сторона прямокутного трикутника, яка лежить навпроти прямого кута.

Якщо треба підрахувати довжину гіпотенузи при відомих розмірах двох інших сторін, можна скористатися теоремою Піфагора.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}$,

де ${\displaystyle a,b}$ — сторони трикутника.

Наприклад, якщо одна з інших сторін має довжину 3, а інша має довжину 4, то квадрат гіпотенузи ${\displaystyle c^{2}=3^{2}+4^{2}=25}$, а довжина гіпотенузи ${\displaystyle c={\sqrt {25}}=5}$.

Слово гіпотенуза походить від грецького ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα (а саме γραμμή або πλευρά), що означає «[сторона], яка стягує прямий кут» (Аполлодор)^[1], ὑποτείνουσα hupoteinousa є активним дієприкметником теперішнього часу жіночого роду від дієслова ὑποτείνω hupo-teinō «тягнути внизу, підтягувати», від τείνω teinō «розтягувати». Номіналізоване ἡ ὑποτείνουσα використовували для гіпотенузи трикутника в IV столітті до н. е. (Платон, Тімей 54d). Грецький термін запозичено в пізню латинську мову як hypotēnūsa^[2]. Написання з -e, як hypotenuse, має французьке походження (Естьєн де ла Рош, 1520).^[3]

Довжину гіпотенузи можна обчислити за допомогою функції квадратного кореня, що випливає з теореми Піфагора. Якщо позначити довжини двох катетів трикутника (взаємно перпендикулярних сторін) a і b, а довжину гіпотенузи — c, маємо

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Теорему Піфагора, а отже, й цю довжину, можна також вивести із теореми косинусів, врахувавши, що кут навпроти гіпотенузи дорівнює 90° і його косинус дорівнює 0:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos 90^{\circ }=a^{2}+b^{2}\therefore c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Багато комп'ютерних мов підтримують стандартну функцію ISO C hypot(x,y), яка повертає відповідне значення^[4]. Функція розроблена так, щоб не допускати збою там, де просте обчислення може спричинити переповнення або антипереповнення, і може бути дещо точнішою, проте, іноді, значно повільнішою.

Деякі наукові калькулятори надають функцію для перетворення прямокутних координат у полярні. За заданими x і y вона повертає як довжину гіпотенузи, так і кут, який вона утворює з додатним напрямом осі x. Повернений кут зазвичай задається як atan2(y,x).

За допомогою тригонометричних співвідношень можна отримати значення двох гострих кутів, ${\displaystyle \alpha \,}$ і ${\displaystyle \beta \,}$, прямокутного трикутника.

Для довжини гіпотенузи ${\displaystyle c\,}$ і катета ${\displaystyle b\,}$, співвідношення таке:

${\displaystyle {\frac {b}{c}}=\sin(\beta )\,}$

Тригонометрична обернена функція:

${\displaystyle \beta \ =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)\,}$

де ${\displaystyle \beta \,}$ — кут, протилежний до катета ${\displaystyle b\,}$.

Прилеглий до катета ${\displaystyle b\,}$ кут ${\displaystyle \alpha \,}$ = 90° — ${\displaystyle \beta \,}$.

Можна також отримати значення кута ${\displaystyle \beta \,}$ з рівняння:

${\displaystyle \beta \ =\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\,}$

де ${\displaystyle a\,}$ — інший катет.

• Катет
• Теорема Піфагора
• Тригонометрія

• Гіпотенуза в Енциклопедії математики [Архівовано 31 травня 2015 у Wayback Machine.]
• Weisstein, Eric W. Гіпотенуза(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.