Сигма-адитивність

Сигма-адитивність або зліченна адитивність функції (часто міри) означеної на підмножинах заданої множини — це абстракція того, як інтуїтивні властивості розміру множини (довжина, площа, об'єм) сумуються коли розглядаємо багато об'єктів. Адитивність (або скінченна адитивність) — слабша умова ніж сигма-адитивність, тобто, сигма-адитивність тягне за собою адитивність.

Нехай ${\displaystyle \mu }$ — функція, означена на алгебрі множин ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ зі значеннями у [−∞, +∞] (див. розширена дійсна пряма). Функція ${\displaystyle \mu }$ називається адитивною (або скінченно-адитивною), якщо для неперетинних множин A і B з ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ маємо

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).\,}$

(Як наслідок цього адитивна функція не може набувати ані −∞, ані +∞ як значень, бо вираз ∞ − ∞ невизначений.)°

Використовуючи математичну індукцію можна довести, що адитивна функція задовольняє

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu (A_{n})}$

для будь-яких множин ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{N}}$ з ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$, які не перетинаються.

Припустимо, що ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ це σ-алгебра. Якщо для будь-якої послідовності ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},\dots }$ попарно неперетинних множин з ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$, виконується

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$,

кажуть, що μ — зліченно-адитивна (або σ-адитивна).
Будь-як σ-адитивна функція також адитивна, але не навпаки.

Прикладом σ-адитивної функції може бути функція μ означена на булеані дійсних чисел, так що

${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ якщо }}0\in A\\0&{\mbox{ якщо }}0\notin A.\end{cases}}}$

Якщо ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},\dots }$ це послідовність неперетинних множин дійсних чисел, тоді або жодна з них не містить 0, або лише одна. У будь-якому разі, рівність

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$

дотримується.

Приклад адитивної функції, яка не σ-адитивна, можна отримати розглянувши μ, означену на множинах дійсних чисел заданих такою формулою

${\displaystyle \mu (A)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{k}}\cdot \lambda \left(A\cap \left(0,k\right)\right),}$

де λ позначає міру Лебега і lim це банахова границя.

Адитивність цієї функції можна перевірити скориставшись лінійністю границі. Те, що ця функція не σ-адитивна випливає з такої послідовності неперетинних множин

${\displaystyle A_{n}=\left[n,n+1\right)}$

для n=0, 1, 2, ... Об'єднання цих множин — це додатні дійсні числа, і μ цього об'єднання — одиниця, тоді як μ кожної окремої множини, це нуль, отже, і сума μ(A_n) також нуль, що дає контрприклад.