YaChudo

Простір Гарді

Переглядів: 0. Оновлено 08.11.2026.

Простір Гарді — особливий вид функціональних просторів в комплексному аналізі, аналог L p {\displaystyle L^{p}} -простору з функціонального аналізу. Названий за іменем англійського математика Ґодфрі Гарольда Гарді.

Простори Гарді відіграють важливу роль у вивченні граничних властивостей функцій, гармонічному аналізі, теорії степеневих рядів, лінійних

операторів, випадкових процесів, екстремальних і апроксимаційних задачах.

Означення

Простір Гарді   H p {\displaystyle \ H^{p}} при 0 < p < ∞ {\displaystyle 0<p<\infty }  — це клас голоморфних функцій на відкритому одиничному колі на комплексної площині, що задовольняють наступній умові

sup 0 < r < 1 ( 1 2 π ∫ 0 2 π | f ( r e i θ ) | p d θ ) 1 p < ∞ . {\displaystyle \sup _{0<r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|f(re^{i\theta })\right|^{p}\;d\theta \right)^{\frac {1}{p}}<\infty .}

Ліва частина цієї нерівності називається   p {\displaystyle \ p} -нормою в просторі Гарді або просто нормою Гарді для   f {\displaystyle \ f} , і позначається   | f | H p {\displaystyle \ |f|_{H^{p}}} . Як і у випадку L p {\displaystyle L^{p}} -просторів, ця норма узагальнюється на випадок p = ∞ {\displaystyle p=\infty } як

| f | H ∞   =   sup 0 < r < 1 sup z :   | z | = r | f ( z ) |   =   sup z :   | z | < 1 | f ( z ) | . {\displaystyle |f|_{H^{\infty }}\ =\ \sup _{0<r<1}\sup _{z:\ |z|=r}|f(z)|\ =\ \sup _{z:\ |z|<1}|f(z)|.}

Простори Гарді на верхній комплексній півплощині

Простір Гарді Hp(H) на верхній комплексній півплощині H за означенням є простором функцій f голоморфних на H з обмеженою квазінормою заданою як

‖ f ‖ H p = sup y > 0 ( ∫ | f ( x + i y ) | p d x ) 1 p . {\displaystyle \|f\|_{H^{p}}=\sup _{y>0}\left(\int |f(x+iy)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}.}

Простір H∞(H) є простором голоморфних функцій із обмеженою нормою:

‖ f ‖ H ∞ = sup z ∈ H | f ( z ) | . {\displaystyle \|f\|_{H^{\infty }}=\sup _{z\in \mathbf {H} }|f(z)|.}

Хоча одиничний круг D і верхня комплексна півплощина H відображаються один на одного за допомогою перетворень Мебіуса вони не є рівнозначними як області для просторів Гарді. Зокрема це пояснюється тим, що одиничне коло має скінченну (одновимірну) міру Лебега, а дійсна пряма має нескінченну міру. Проте для H2 справедливим є твердження: якщо m : D → H позначає перетворення Мебіуса

m ( z ) = i ⋅ 1 + z 1 − z . {\displaystyle m(z)=i\cdot {\frac {1+z}{1-z}}.}

то лінійний операторr M : H2(H) → H2(D) заданий як

( M f ) ( z ) := π 1 − z f ( m ( z ) ) . {\displaystyle (Mf)(z):={\frac {\sqrt {\pi }}{1-z}}f(m(z)).}

є ізометричним ізоморфізмом просторів Гільберта.

Простори Гарді на одиничному колі

Простори Гарді на одиничному крузі можна розглядати як замкнуті векторні підпростори комплексних L p {\displaystyle L^{p}} -просторів на одиничному колі.

Якщо f ∈ Hp, де p > 0, то радіальна границя

f ~ ( e i θ ) = lim r → 1 f ( r e i θ ) {\displaystyle {\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)=\lim _{r\to 1}f\left(re^{i\theta }\right)}

існує для майже всіх θ. Функція f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} належить до Lp - простору на одиничному колі і також

‖ f ~ ‖ L p = ‖ f ‖ H p . {\displaystyle \|{\tilde {f}}\|_{L^{p}}=\|f\|_{H^{p}}.}

Також виконується рівність

lim r → 1 − 1 2 π ∫ 0 2 π | f ( r e i θ ) − f ~ ( e i θ ) | p d θ = 0. {\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|f(re^{i\theta })-{\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)\right|^{p}\;d\theta =0.}

Якщо функція f ~ ( e i θ ) {\displaystyle {\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)} є рівною нулю на підмножині додатної міри одиничного кола, то f є рівною нулю на всьому одиничному крузі.

Якщо позначити одиничне коло як T і Hp(T) — векторний підпростір простору Lp(T) елементами якого є граничні функції f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} , де f належить Hp, то для p ≥ 1,

g ∈ H p ( T ) ⟺ g ∈ L p ( T ) ∧ ∀ n < 0 ,   g ^ ( n ) = 0 , {\displaystyle g\in H^{p}\left(\mathbf {T} \right)\Longleftrightarrow g\in L^{p}\left(\mathbf {T} \right)\land \forall n<0,\ {\hat {g}}(n)=0,}

де ĝ(n) є коефіцієнтами Фур'є функції g:

∀ n ∈ Z ,       g ^ ( n ) = 1 2 π ∫ 0 2 π g ( e i ϕ ) e − i n ϕ d ϕ . {\displaystyle \forall n\in \mathbf {Z} ,\ \ \ {\hat {g}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }g\left(e^{i\phi }\right)e^{-in\phi }\,\mathrm {d} \phi .}

Простір Hp(T) є замкнутим підпростором простору Lp(T).

Навпаки для функції f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} ∈ Lp(T), де p ≥ 1, можна одержати функцію f , що є гармонічною на одиничному крузі за допомогою інтегральної формули Пуассона Pr:

f ( r e i θ ) = 1 2 π ∫ 0 2 π P r ( θ − ϕ ) f ~ ( e i ϕ ) d ϕ , r < 1. {\displaystyle f\left(re^{i\theta }\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}(\theta -\phi ){\tilde {f}}\left(e^{i\phi }\right)\,\mathrm {d} \phi ,\quad r<1.}

Тоді f належить Hp тоді і тільки тоді, коли f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} належить Hp(T). Якщо f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} належить Hp(T), тобто f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} має коефіцієнти Фур'є (an)n∈Z і an = 0 для n < 0, тоді функція f простору Гарді Hp пов'язана з f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} є голоморфною функцією із розкладом в ряд Тейлора:

f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ a n z n ,       | z | < 1. {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\ \ \ |z|<1.}

Властивості

  • Для p ≥ 1, простір   H p {\displaystyle \ H^{p}} є простором Банаха.
  • Для випадку 0 < p < q ≤ ∞ {\displaystyle 0<p<q\leq \infty }   H q {\displaystyle \ H^{q}} є підмножиною множини   H p {\displaystyle \ H^{p}} .
Доведення включення   H q ⊂   H p {\displaystyle \ H^{q}\subset \ H^{p}} здійснюється з використанням нерівності Єнсена функції x → x q p , {\displaystyle x\to x^{\frac {q}{p}},} яка є опуклою на проміжку (0, 1) згідно умови q p > 1. {\displaystyle {\frac {q}{p}}>1.} Тоді
∫ 0 2 π | f ( r e i θ ) | p d θ = [ ( 2 π ) q / p ( ∫ 0 2 π | f ( r e i θ ) | p ( d θ / 2 π ) ) q / p ] p / q ⩽ ( 2 π ) ( q − p ) / q ( ∫ 0 2 π | f ( r e i θ ) | q d θ ) p / q {\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^{p}d\theta =\left[(2\pi )^{q/p}\left(\int \limits _{0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^{p}(d\theta /2\pi )\right)^{q/p}\right]^{p/q}\leqslant (2\pi )^{(q-p)/q}\left(\int \limits _{0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^{q}d\theta \right)^{p/q}}
Якщо f ∈   H q , {\displaystyle f\in \ H^{q},} то супремум по r у правій стороні нерівності є скінченним і тому скінченним є супремум з лівої сторони, а отже f ∈   H p . {\displaystyle f\in \ H^{p}.}
Приклад нижче показує, що включення є строгим, тобто для 0 < p < q ≤ ∞ {\displaystyle 0<p<q\leq \infty } , як простори функцій   H p ≠   H q . {\displaystyle \ H^{p}\neq \ H^{q}.}
  • Згідно теореми Гарді в означенні можна взяти границю при прямуванні r до 1:
  | f | H p = lim r → 1 − ( 1 2 π ∫ 0 2 π | f ( r e i θ ) | p   d θ ) 1 p . {\displaystyle \ |f|_{H^{p}}=\lim _{r\to 1^{-}}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(re^{\mathrm {i} \theta })|^{p}\ d\theta \right)^{\frac {1}{p}}.}
  • Якщо функція f ∈   H p ,   0 < p ⩽ ∞ {\displaystyle f\in \ H^{p},\ 0<p\leqslant \infty } і a 1 , a 2 , … {\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots } є нулями функції в одиничному крузі з врахуванням кратності, то ∑ i ( 1 − | a i | ) < ∞ . {\displaystyle \textstyle \sum _{i}(1-|a_{i}|)<\infty .} Навпаки, якщо не більш ніж зліченна множина комплексних чисел із одиничного круга задовольняє цю нерівність, то вона є множиною нулів деякої функції із простору Гарді.
  • Якщо f ∈   H p {\displaystyle f\in \ H^{p}} , то існують збіжний добуток Бляшке B {\displaystyle B} і голоморфна ніде не рівна нулю на одиничному крузі функція F {\displaystyle F} для яких f = F ⋅ B . {\displaystyle f=F\cdot B.} До того ж   | f | H p =   | F | H p . {\displaystyle \ |f|_{H^{p}}=\ |F|_{H^{p}}.} Добуток Бляшке записується через нулі функції f:
B ( z ) = z n ∏ k | a k | a k z − a k 1 − a k ¯ z , {\displaystyle B(z)=z^{n}\prod _{k}{\frac {|a_{k}|}{a_{k}}}{\frac {z-a_{k}}{1-{\overline {a_{k}}}z}},} де n — кратність 0 як нуля функції f.
Функція F {\displaystyle F} розкладається у добуток зовнішньої функції
F 0 ( z ) = exp ⁡ ( 1 2 π ∫ 0 2 π e i θ + z e i θ − z ln ⁡ χ ( e i θ ) d θ + i α ) , α ∈ R , {\displaystyle F_{0}(z)=\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}\ln \chi (e^{i\theta })d\theta +i\alpha \right),\quad \alpha \in \mathbb {R} ,}
і внутрішньої сингулярної функції:
S ( z ) = exp ⁡ ( ∫ 0 2 π e i θ + z e i θ − z   d μ ( θ ) ) {\displaystyle S(z)=\exp \left(\int _{0}^{2\pi }{\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}\ d\mu (\theta )\right)}
де χ ( e i θ ) ⩾ 0 ,   ln ⁡ ( χ ( e i θ ) ) {\displaystyle \chi (e^{i\theta })\geqslant 0,\ \ln(\chi (e^{i\theta }))} є функцією класу L 1 {\displaystyle L^{1}} на одиничному колі, а d μ ( θ ) {\displaystyle d\mu (\theta )} є невід'ємною сингулярною мірою на одиничному колі.
Також три умови f ∈   H p ,   F 0 ∈   H p , χ ∈ L p ( T ) {\displaystyle f\in \ H^{p},\ F_{0}\in \ H^{p},\chi \in L^{p}(T)} є рівносильними і f ~ ( e i θ ) = F ~ 0 ( e i θ ) = χ ( e i θ ) {\displaystyle {\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)={\tilde {F}}_{0}\left(e^{i\theta }\right)=\chi (e^{i\theta })} майже всюди на одиничному колі.
  • Функція G ( z ) = B ( z ) ⋅ S ( z ) {\displaystyle G(z)=B(z)\cdot S(z)} є внутрішньою функцією і функції такого виду повністю характеризуються умовами | G ( z ) | < 1 {\displaystyle |G(z)|<1} у відкритому одиничному колі і f ~ ( e i θ ) = 1 {\displaystyle {\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)=1} майже всюди на одиничному колі.

Приклади

  • Якщо 0 < p 1 < p < p 2 ⩽ ∞ {\displaystyle 0<p_{1}<p<p_{2}\leqslant \infty } то функція f p ( z ) = 1 ( 1 − z ) 1 / p {\displaystyle f_{p}(z)={\frac {1}{(1-z)^{1/p}}}} визначена за допомогою основної гілки логарифма належить простору   H p 1 {\displaystyle \ H^{p_{1}}} але не належить простору   H p 2 . {\displaystyle \ H^{p_{2}}.}
Для цієї функції виконуються нерівності:
∫ 0 2 π | f p ( r e i θ ) | p 1 d θ = ∫ 0 2 π | 1 − r e i θ | − p 1 / p d θ ⩽ ∫ 0 2 π | r − r e i θ | − p 1 / p d θ = r − p 1 / p ∫ 0 2 π | 1 − e i θ | − p 1 / p d θ ⩽ 4 r − p 1 / p ∫ 0 π / 2 ( 1 sin ⁡ θ ) p 1 / p d θ . {\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\left|f_{p}(re^{i\theta })\right|^{p_{1}}\;d\theta =\int \limits _{0}^{2\pi }\left|1-re^{i\theta }\right|^{-p_{1}/p}\;d\theta \leqslant \int \limits _{0}^{2\pi }\left|r-re^{i\theta }\right|^{-p_{1}/p}\;d\theta =r^{-p_{1}/p}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|1-e^{i\theta }\right|^{-p_{1}/p}\;d\theta \leqslant 4r^{-p_{1}/p}\int \limits _{0}^{\pi /2}\left({\frac {1}{\sin \theta }}\right)^{p_{1}/p}\;d\theta .}
Оскільки для 0 < θ ⩽ π / 2 {\displaystyle 0<\theta \leqslant \pi /2} виконується нерівність sin ⁡ θ ⩾ θ / 2 , {\displaystyle \sin \theta \geqslant \theta /2,} то додатково ці інтеграли є меншими, ніж 4 ⋅ 2 p 1 / p ⋅ r − p 1 / p ∫ 0 π / 2 θ − p 1 / p d θ < ∞ , {\displaystyle 4\cdot 2^{p_{1}/p}\cdot r^{-p_{1}/p}\int \limits _{0}^{\pi /2}\theta ^{-p_{1}/p}\;d\theta <\infty ,} а тому f p ( z ) ∈   H p 1 . {\displaystyle f_{p}(z)\in \ H^{p_{1}}.}
З іншого боку виконуються нерівності
∫ 0 2 π | 1 − r e i θ | − p 2 / p d θ > ∫ 0 π / 2 | 1 − r e i θ | − p 2 / p d θ ⩾ ∫ 0 π / 2 | 1 − r cos ⁡ θ + r sin ⁡ θ | − p 2 / p d θ ⩾ ⩾ r ∫ 0 π / 2 ( 1 − r cos ⁡ θ + r sin ⁡ θ ) − p 2 / p r cos ⁡ θ + r sin ⁡ θ d θ = r ⋅ ( 1 − p 2 / p ) ( ( 1 + r ) 1 − p 2 / p − ( 1 − r ) 1 − p 2 / p ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|1-re^{i\theta }\right|^{-p_{2}/p}\;d\theta >&\int \limits _{0}^{\pi /2}\left|1-re^{i\theta }\right|^{-p_{2}/p}\;d\theta \geqslant \int \limits _{0}^{\pi /2}\left|1-r\cos \theta +r\sin \theta \right|^{-p_{2}/p}\;d\theta \geqslant \\\geqslant &\quad r\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {\left(1-r\cos \theta +r\sin \theta \right)^{-p_{2}/p}}{r\cos \theta +r\sin \theta }}d\theta =r\cdot (1-p_{2}/p)\left((1+r)^{1-p_{2}/p}-(1-r)^{1-p_{2}/p}\right).\end{aligned}}}
Оскільки p 2 / p > 1 {\displaystyle p_{2}/p>1} то вираз справа у формулі прямує до нескінченності при прямуванні r до 1. Тому також lim r → 1 − ( 1 2 π ∫ 0 2 π | f p ( r e i θ ) | p 2   d θ ) 1 p 2 = ∞ {\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f_{p}(re^{\mathrm {i} \theta })|^{p_{2}}\ d\theta \right)^{\frac {1}{p_{2}}}=\infty } і тому f p ( z ) {\displaystyle f_{p}(z)} не належить простору   H p 2 . {\displaystyle \ H^{p_{2}}.}
  • Якщо голоморфна функція f є однолистою (ін'єктивною) на одиничному крузі, тоді f ∈   H p {\displaystyle f\in \ H^{p}} для всіх   0 < p < 1 2 . {\displaystyle \ 0<p<{\frac {1}{2}}.} Якщо додатково ця функція не є рівною нулю у жодній точці одиничного круга. то ln ⁡ f ∈   H p {\displaystyle \ln f\in \ H^{p}} для всіх p > 0. {\displaystyle p>0.}
  • Якщо f є голоморфною у відкритому одиничному крузі, то f ′ ∈   H 1 {\displaystyle f'\in \ H^{1}} тоді і тільки тоді, коли f є неперервною на замкнутому одиничному крузі і абсолютно неперервною на одиничному колі.
  • Важливим окремим випадком є p = 2. {\displaystyle p=2.} Нехай f ∈   H 2 {\displaystyle f\in \ H^{2}} і її розклад у ряд Тейлора має вид f ( z ) = ∑ n = 0 + ∞ f ^ ( n )   z n , f ^ ( n ) := f ( n ) ( 0 ) n ! . {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }\,{\hat {f}}(n)\ z^{n},\qquad {\hat {f}}(n):={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}.} Для функції можна ввести норму ‖ f ‖ 2 := ( ∑ n = 0 + ∞ | f ^ ( n ) | 2 ) 1 2 . {\displaystyle \|f\|_{2}:=\left(\sum _{n=0}^{+\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.} Тоді   | f | H p = ‖ f ‖ 2 {\displaystyle \ |f|_{H^{p}}=\|f\|_{2}} і зокрема f ∈   H 2 {\displaystyle f\in \ H^{2}} тоді і тільки тоді коли її норма ‖ f ‖ 2 {\displaystyle \|f\|_{2}} є скінченною.
Позначаючи z = r e i θ {\displaystyle z=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }} де r ∈ [ 0 , 1 [ {\displaystyle r\in [0,1[} і t ∈ [ − π , π ] {\displaystyle t\in [-\pi ,\pi ]} і враховуючи f ( z ) = ∑ n = 0 + ∞ f ^ ( n ) z n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)z^{n}} маємо f ( r e i θ ) = ∑ n = 0 + ∞ f ^ ( n ) r n e i n θ . {\displaystyle f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)r^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\theta }.} Тобто f ^ ( n ) r n {\displaystyle {\hat {f}}(n)r^{n}} є коефіцієнтами Фур'є для f ( r e i θ ) {\displaystyle f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })} як функції дійсної змінної. Тоді згідно рівності Парсеваля: 1 2 π ∫ 0 2 π | f ( r e i θ ) | 2 d θ = ∑ n = 0 + ∞ | f ^ ( n ) | 2 r 2 n . {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|f(re^{i\theta })\right|^{2}\;d\theta =\sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}.} Із цієї рівності випливає твердження.
Звідси, випливає, що   H 2 , {\displaystyle \ H^{2},} як нормований векторний простір є ізометрично ізоморфним простору l 2 {\displaystyle l^{2}} і зокрема є простором Гільберта.

Посилання

Джерело: стаття у Вікіпедії та історія редагувань (автори).