Норма (математика)

Нор́ма — це функція, що задана на лінійному просторі і є узагальненням поняття довжини вектора.

Простір із заданою на ньому нормою називається нормованим простором.

Нормою у векторному просторі ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$ називають відображення ${\displaystyle \|\cdot \|:V\rightarrow \mathbb {R} ,}$ що задовольняє наступним умовам:

1. ${\displaystyle \|v\|\geq 0,\quad \|v\|=0}$ тільки при ${\displaystyle v={\vec {0}}}$ (невід'ємність)
2. ${\displaystyle \|rv\|\,=\,|r|\|v\|,\quad }$ де ${\displaystyle r\in \mathbb {K} }$ — скаляр (однорідність)
3. ${\displaystyle \|u+v\|\,\leq \,\|u\|+\|v\|,\quad \forall u,v\in V}$ (нерівність трикутника)

Ці умови також відомі як аксіоми норми.

За допомогою норми ${\displaystyle \|\cdot \|,}$ векторний простір ${\displaystyle V}$ одержує структуру метричного і топологічного нормованого векторного простору. А саме, відстань ${\displaystyle d(u,v)=\|u-v\|.}$ Зазначимо, що для будь-яких ${\displaystyle u,v,w\in V}$ виконується ${\displaystyle d(u+w,v+w)=d(u,v),}$ метрики на векторному просторі ${\displaystyle V}$ з такою властивістю називаються трансляційно інваріантними. Найважливіший спеціальний випадок — це коли метричний простір ${\displaystyle V}$ є повним відносно метрики означеної нормою, тобто коли ${\displaystyle V}$ — повний нормований лінійний простір, або банахів простір.

З геометричної думки, задання норми на ${\displaystyle V}$ — це те й саме, що і задання її одиничної кулі ${\displaystyle B(0,1)=\{v\in V:\|v\|\leq 1\},}$ тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми — це випукла підмножина векторного простору ${\displaystyle V,}$ що містить нульовий вектор ${\displaystyle {\vec {0}}}$ серед своїх внутрішніх точок.

Нехай ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ — це ${\displaystyle n}$-вимірний координатний векторний простір. Евклідова норма на ${\displaystyle V}$ визначається за формулою ${\displaystyle \|u\|={\sqrt {(u,u)}},}$ де ${\displaystyle (u,v)=\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}}$ — це стандартний скалярний добуток на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Перші дві аксіоми норми майже очевидні. Щодо третьої аксіоми, то вона випливає з нерівності Коші-Буняковського у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Одинична куля цієї норми — це звичайна одинична куля.

Нехай ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n},}$⁣ але цього разу визначимо норму за формулою ${\displaystyle \|u\|=\operatorname {sup} _{i=1}^{n}|u_{i}|}$ (це так звана sup норма). Всі три аксіоми норми легко перевіряються. У цьому випадку, одинична куля норми являє собою одиничний куб ${\displaystyle \{u\in \mathbb {R} ^{n}:|u_{i}|\leq 1,1\leq i\leq n\},}$ що складається із тих векторів, всі координати яких містяться між ${\displaystyle -1}$ і ${\displaystyle 1.}$

Нехай ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n},}$ але цього разу визначимо норму за формулою ${\displaystyle \|u\|=\sum _{i=1}^{n}|u_{i}|.}$ Як і в попередньому прикладі, аксіоми норми легко перевіряються. Одинична куля цієї норми — це узагальнений октаедр, що є правильним політопом ${\displaystyle n}$-вимірного простору полярним до ${\displaystyle n}$-вимірного куба.

Нехай ${\displaystyle \|\cdot \|_{1},\,\|\cdot \|_{2}}$ — дві норми визначені на одному і тому ж просторі ${\displaystyle \!V}$. Якщо існує таке дійсне ${\displaystyle C>0,}$ що ${\displaystyle \|v\|_{1}\leq C\|v\|_{2}}$ для будь-якого ${\displaystyle v\in V,}$ то норма ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ називається підпорядкованою нормі ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}.}$ Якщо водночас і норма ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ підпорядкована нормі ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$, то такі дві норми називаються еквівалентними.

• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2026. — 757 с.(укр.)
• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Березанський Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функціональний аналіз : [укр.] = Functional Analysis, Vol. I, Kyiv : Institute of Mathematics, 2010. : [пер. з англ.] : підручник. — Л. : Видавець Чижиков І. Е., 2014. — С. 559. — (Університетська бібліотека). — ISBN 978-966-2645-12-5.
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2026. — 2538 с.(укр.)