Породжувальна множина групи

Твірна множина групи — це така підмножина S групи G, що кожен елемент групи G можна подати як добуток скінченної кількості елементів із S та обернених до них.

Загальніше, якщо S підмножина групи G, тоді <S> — підгрупа породжена S, це найменша підгрупа G яка містить всі елементи S. Еквівалентно, <S> це підгрупа всіх елементів G, які можуть бути представлені як добутки скінченної кількості елементів з S та обернених до них.

Якщо G = <S>, говорять, що S породжує G, а елементи S називаються твірними або породжувальними елементами групи G. Якщо S — порожня, то за визначенням, вважається <S> = {e}.

Коли S містить тільки один елемент x, зазвичай пишуть <x> = G. В такому випадку <x> — це циклічна підгрупа степенів x в G.

Найзагальніша група породжена множиною S — це група вільно породжена S. Кожна група породжена S, ізоморфна факторгрупі такої групи. Ця властивість використовується для задання групи.

При n ≥ 3 симетрична група S_n не є циклічною (не може бути породженою одним елементом).

Хоча може бути породжена двома елементами: перестановка ${\displaystyle (1\leftrightarrow 2)}$ та перестановка ${\displaystyle (1\to 2\to 3\to \ldots \to n)}$.

Для прикладу, перечислимо всі 6 елементів S₃:

${\displaystyle e=(12)(12)}$

${\displaystyle (12)=(12)}$

${\displaystyle (13)=(12)(123)}$

${\displaystyle (23)=(123)(12)}$

${\displaystyle (123)=(123)}$

${\displaystyle (132)=(12)(123)(12)}$

При n ≥ 3 знакозмінна група може бути породжена 3-циклами (перестановками ${\displaystyle i\to j\to k}$).

В знакозмінній групі парна кількість транспозицій, і кожна пара транспозицій може бути утворена одним чи двома 3-циклами:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}a&c\\c&a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c\\b&c&a\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}c&d\\d&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&c&a&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}b&c&a&d\\b&a&d&c\end{pmatrix}}}$.

чи в циклічній нотації

${\displaystyle (ab)*(ac)=(abc)}$

${\displaystyle (ab)*(cd)=(abc)*(cad)}$

При n ≥ 3 знакозмінна група може бути породжена m-циклами (де m — непарне число > 1).

Оскільки:

• m-цикл має (m — 1), тобто, парну кількість транспозицій, отже є елементом групи і
• довільний 3-цикл є добутком m-циклів:

${\displaystyle (a_{1}a_{2}a_{3})=(a_{2}a_{1}a_{3}a_{4}\ldots a_{m})\circ (a_{m}a_{m-1}\ldots a_{4}a_{3}a_{2}a_{1})}$.

• Граф Келі
• Залишково скінченна група

• Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.(укр.)
• Ганюшкін О. Г., Безущак О. О. Теорія груп: Навчальний посібник. — Київ : ВПЦ "Київський університет", 2005.(укр.)
• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)