Періодограма

Періодогра́ма — оцінка спектральної густини сигналу в обробці сигналів. Цей термін був введений Артуром Шустером 1898 року^[1]. Періодограма є складовою частиною складніших методів. Це найпоширеніший інструмент для дослідження амплітудно-частотних характеристик FIR-фільтрів та віконних функцій. Аналізатори спектру також реалізують як часову послідовність періодограм.

Нині використовують щонайменше два різні визначення періодограми^[2]. Одне з них ґрунтується на усередненні за часом^[3], друге — ні^[4]. Усереднення за часом також розглянуто в інших статтях (метод Бартлетта, метод Велча), а ця стаття не стосується усереднення за часом. Тут нас цікавить визначення, за яким спектральна густина потужності неперервної функції x(t) є перетворенням Фур'є її автокореляційної функції (див. теорема Вінера — Хінчина):$${\displaystyle ℱ\{x(t)⊛x^{\ast }(-t)\}=X(f)\cdot X^{\ast }(f)={|X(f)|}^2.}$$

Для достатньо малих значень параметра T довільно точне наближення для X(f) можна отримати в області ${\displaystyle -\frac{1}{2T}<f<\frac{1}{2T}}$ функції:

$${\displaystyle X_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}X(f-k/T),}$$

яка повністю визначається відліками x(nT), що покривають ненульову тривалість x(t).

Для достатньо великих значень параметра N  ${\displaystyle X_{1/T}(f)}$ можна обчислити на довільно близьких частотах сумою вигляду:

$${\displaystyle X_{1/T}\left(\frac{k}{NT}\right)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\underset{x[n]}{\underbrace{T\cdot x(nT)}}\cdot e^{-i2\pi \frac{kn}{N}},}$$

де k — ціле число. Періодичність  ${\displaystyle e^{-i2\pi \frac{kn}{N}}}$  дає змогу записати це у дуже простому вигляді через дискретне перетворення Фур'є:

$${\displaystyle X_{1/T}\left(\frac{k}{NT}\right)=\underset{\text{DFT}}{\underbrace{\sum _n{x}_{{}_N}[n]\cdot e^{-i2\pi \frac{kn}{N}},}}\text{(сума за будь-якою послідовністю довжини }N),}$$

де ${\displaystyle x_{{}_N}}$ — періодична сума:  ${\displaystyle x_{{}_N}[n]\triangleq \sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n-mN].}$

Обчислюючи для всіх цілих k від 0 до N-1, отримуємо масив:$${\displaystyle S\left(\frac{k}{NT}\right)={|\sum _n{x}_{{}_N}[n]\cdot e^{-i2\pi \frac{kn}{N}}|}^2}$$який є періодограмою^[4][5][6].

Одним із недоліків періодограми є те, що дисперсія на заданій частоті не зменшується зі збільшенням кількості відліків, використаних в обчисленні. Вона не забезпечує потрібного усереднення для аналізу шумоподібних сигналів або навіть синусоїд за низького відношення сигнал/шум. Віконні функції та імпульсні характеристики фільтрів є безшумними, але для багатьох інших сигналів потрібні складніші методи оцінювання спектральної густини. Два підходи використовують періодограми як частину процесу:

• Метод усереднених періодограм^[8], більш відомий як метод Велча^[9][10], ділить довгу послідовність x[n] на кілька коротших підпослідовностей, які інколи перекриваються. Для кожної підпослідовності він обчислює періодограму у вікні, а потім усереднює їх поелементно, тобто формує масив, у якому кожен елемент є середнім відповідних елементів усіх періодограм. Для стаціонарних процесів це зменшує дисперсію шуму кожного елемента обернено до кількості періодограм.
• Згладжування — це усереднення за частотою, а не за часом. Згладжену періодограму іноді називають спектральним графіком^[11][12].

Методи на основі періодограми вносять невеликі зміщення, неприйнятні для деяких застосувань.

• Перетворення Радона
• Спектральний аналіз методом найменших квадратів
• MUSIC

• Box, George E. P.; Jenkins, Gwilym M. (1976). Time series analysis: Forecasting and control. San Francisco: Holden-Day. Bibcode:1976tsaf.conf.....B.
• Scargle, J.D. (15 грудня 1982). Studies in astronomical time series analysis. II - Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data. Astrophysical Journal, Part 1. 263: 835—853. Bibcode:1982ApJ...263..835S. doi:10.1086/160554.
• Vaughan, Simon; Uttley, Philip (2006). Detecting X-ray QPOs in active galaxies. Advances in Space Research. 38 (7): 1405—1408. arXiv:astro-ph/0506456. Bibcode:2006AdSpR..38.1405V. doi:10.1016/j.asr.2005.02.064. S2CID 21054467.