Одиничний вектор

{\displaystyle {\vec {r}}} — Радіус-вектор ${\vec {r}}$ визначає положення точки $\mathrm {P} (x,y,z)$ відносно початку координат O. В декартовій системі координат ${\vec {r}}=x\,{\hat {e}}_{x}+y\,{\hat {e}}_{y}+z\,{\hat {e}}_{z}$ , де ${\hat {e}}_{i}$ — одиничні вектори.

Одини́чний ве́ктор (орт, одиничний вектор нормованого векторного простору) — вектор одиничної довжини; вектор, норма (довжина) якого дорівнює одиниці обраного масштабу.

Одиничний вектор $\mathbf {\hat {v}}$ , колінеарний з заданими $\mathbf {v}$ , (нормований вектор) визначається за формулою

\mathbf {\hat {v}} ={\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}

,

де |v| — норма (або довжина) v. Термін нормований вектор інколи використовується, як синонім одиничного вектору.

Як базисні найчастіше обираються саме одиничні вектори, оскільки це спрощує обчислення. Кожен вектор у просторі можна записати як лінійну комбінацію базисних векторів.

За визначенням, у евклідовому просторі скалярний добуток двох одиничних векторів є скалярним значенням, яке дорівнює косинусу меншого утвореного ними кута. У тривимірному евклідовому просторі векторний добуток двох довільних одиничних векторів — це третій вектор, ортогональний до обох з них, який має довжину, яка дорівнює синусу меншого утвореного ними кута.

Ортогональні системи координат

Декартова система координат

Одиничні вектори можна використати для представлення осей декартової системи координат. Наприклад, одиничні вектори у напрямку осей x, y та z у тривимірному випадку будуть

\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}

Див. також

Джерела

Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.