Міра Малера

Міра Малера ${\displaystyle M(p)}$ для многочлена ${\displaystyle p(z)}$ з комплексними коефіцієнтами визначається як

${\displaystyle M(p)=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|=|a|\prod _{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha _{i}|\},}$

де ${\displaystyle p(z)}$ розкладається в полі комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ на множники

${\displaystyle p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n}).}$

Міру Малера можна розглядати як вид функції висоти. Використовуючи формулу Єнсена, можна показати, що ця міра еквівалентна середньому геометричному чисел ${\displaystyle |p(z)|}$ для ${\displaystyle z}$ на одиничному колі (тобто, ${\displaystyle |z|=1}$):

${\displaystyle M(p)={\color {Green}\exp }\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\color {Green}\ln }(|p(e^{i\theta })|)\,d\theta \right).}$

У ширшому значенні міра Малера для алгебричного числа ${\displaystyle \alpha }$ визначається як міра Малера мінімального многочлена від ${\displaystyle \alpha }$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Зокрема, якщо ${\displaystyle \alpha }$ є числом Пізо або числом Салема, то міра Малера дорівнює просто ${\displaystyle \alpha }$.

Названо на честь математика Курта Малера.

• Міра Малера є мультиплікативною: ${\displaystyle \forall p,q,\,\,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q),}$ де ${\displaystyle \forall }$ — квантор загальності .
• ${\displaystyle M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}\|p\|_{\tau }}$, де середнє степеневе ${\displaystyle \|p\|_{\tau }=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta \right)^{1/\tau }}$ є нормою ${\displaystyle L_{\tau }}$ для многочлена ${\displaystyle p}$^[1].
• (Теорема Кронекера) Якщо ${\displaystyle p}$ -незвідний нормований (старший коефіцієнт — 1) цілочисельний многочлен із ${\displaystyle M(p)=1}$, то або ${\displaystyle p(z)=z}$, або ${\displaystyle p}$ є коловим многочленом.
• (Гіпотеза Лемера) Якщо існує стала ${\displaystyle \mu >1}$, така, що, якщо ${\displaystyle p}$ є незвідним цілочисельним многочленом, то або ${\displaystyle M(p)=1}$, або ${\displaystyle M(p)>\mu }$.
• Міра Малера нормованого цілого многочлена є числом Перрона.

Міра Малера ${\displaystyle M(p)}$ для многочлена з кількома змінними ${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ визначається за аналогічною формулою^[2]:

${\displaystyle M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\log {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n}\right).}$

Ця міра зберігає всі три властивості міри Малера для многочлена від однієї змінної.

Показано, що в деяких випадках міра Малера від кількох змінних пов'язана зі спеціальними значеннями дзета-функцій і ${\displaystyle L}$-функцій. Наприклад, 1981 року Сміт довів формули^[3]

${\displaystyle m(1+x+y)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2),}$

де ${\displaystyle L(\chi _{-3},s)}$ — L-функція Діріхле, і

${\displaystyle m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2}}}\zeta (3)}$ ,

де ${\displaystyle \zeta }$ — дзета-функція Рімана. Тут ${\displaystyle m(P)=\log {M(P)}}$ називають логарифмічною мірою Малера.

За визначенням міра Малера сприймається як інтеграл многочлена за тором (див. гіпотезу Лемера). Якщо ${\displaystyle p}$ перетворюється на нуль на торі ${\displaystyle (S^{1})^{n}}$, то збіжність інтеграла, який визначає ${\displaystyle M(p)}$, не очевидна, але відомо, що ${\displaystyle M(p)}$ збігається і дорівнює межі міри Малера від однієї змінної^[4], що висловив у вигляді гіпотези Бойд ^[5][6].

Нехай ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ позначає цілі числа, визначимо ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j}\geq 0\ {\text{для}}\ 1\leq j\leq N\}}$ . Якщо ${\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}$ є многочленом від ${\displaystyle N}$ змінних та ${\displaystyle r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} _{+}^{N}}$, то нехай многочлен ${\displaystyle Q_{r}(z)}$ від однієї змінної визначається як

${\displaystyle Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1}},\dots ,z^{r_{N}}),}$

а ${\displaystyle q(r)}$ — як

${\displaystyle q(r):={\text{min}}\{H(s):s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)\ {\text{and}}\ \sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}}$ ,

де ${\displaystyle H(s)={\text{max}}\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}}$.

Теорема (Лоутона): нехай ${\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}$ є многочленом від N змінних із комплексними коефіцієнтами — тоді істинна така границя (навіть якщо порушити умову ${\displaystyle r_{i}\geq 0}$):

${\displaystyle \lim _{q(r)\rightarrow \infty }M(Q_{r})=M(Q)}$

Бойд запропонував твердження, загальніше, ніж наведена вище теорема. Він вказав на те, що класична теорема Кронекера, яка характеризує нормовані многочлени з цілими коефіцієнтами, корені яких лежать усередині одиничного кола, може розглядатися як опис многочленів однієї змінної, міра Малера для яких точно дорівнює 1, і на те, що цей результат можна поширити на многочлени кількох змінних^[6].

Нехай розширений круговий многочлен визначатиметься як многочлен вигляду

${\displaystyle \Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi _{m}(z_{1}^{v_{1}}\dots z_{n}^{v_{n}}),}$

де ${\displaystyle \Phi _{m}(z)}$ — коловий многочлен степеня m, ${\displaystyle v_{i}}$ — цілі числа, а ${\displaystyle b_{i}=\max(0,-v_{i}\deg \Phi _{m})}$ вбрано найменшим, так що ${\displaystyle \Psi (z)}$ є многочленом від ${\displaystyle z_{i}}$. Нехай ${\displaystyle K_{n}}$ — множина многочленів, які є добутком одночленів ${\displaystyle \pm z_{1}^{c_{1}}\dots z_{n}^{c_{n}}}$ та розширеного колового многочлена. Тоді виходить така теорема.

Теорема (Бойда): нехай ${\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]}$ — многочлен із цілими коефіцієнтами, тоді ${\displaystyle M(F)=1,}$ тільки коли ${\displaystyle F}$ є елементом ${\displaystyle K_{n}}$.

Це наштовхнуло Бойда на думку розглянути такі множини:

${\displaystyle L_{n}:={\bigl \{}m(P(z_{1},\dots ,z_{n})):P\in \mathbb {Z} [z_{1},\dots ,z_{n}]{\bigr \}},}$

та об'єднання ${\displaystyle {L}_{\infty }=\bigcup _{n=1}^{\infty }L_{n}}$. Він висунув більш «просунуту» гіпотезу^[5], що множина ${\displaystyle {L}_{\infty }}$ є замкнутою підмножиною ${\displaystyle \mathbb {R} }$. З істинності цієї гіпотези негайно випливає істинність гіпотези Лемера, хоч і без явної нижньої межі. Оскільки з результату Сміта випливає, що ${\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}}$, Бойд пізніше висловив гіпотезу, що

${\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq L_{3}\subsetneqq \ \cdots \,.}$

• Норма Бомб'єрі
• Висота многочлена

• Kevin O'Bryant Міра Малера(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Ronald M. Aarts Формула Єнсена(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.