YaChudo

Числа Пізо

Переглядів: 0. Оновлено 29.10.2026.

Число Пізо[1][2] (або число Пізо — Віджаяраґгавана[3][4], або PV-число) — будь-яке ціле алгебричне число, більше від одиниці, модулі всіх спряжених якого строго менші від одиниці. Ці числа відкрив 1912 року Аксель Туе[5], від 1919 року вивчав Ґодфрі Гарді у зв'язку з діофантовими наближеннями[6], але популярність вони здобули після опублікування 1938 року дисертації Шарля Пізо[7]. У 1940-х роках дослідження продовжили Тірукканнапурам Віджаяраґгаван і Рафаель Салем.

З числами Пізо тісно пов'язані числа Салема: це таке число, модулі всіх спряжених якого не перевищують 1 і серед них є одиничний.

Властивості

Що більший натуральний показник степеня PV-числа, то більше цей степінь наближається до цілого числа. Пізо довів, що серед нецілих додатних алгебричних чисел, модулі яких більші від 1, ця властивість є винятковою для PV-чисел: якщо дійсне число α > 1 {\displaystyle \alpha >1} таке, що послідовність відстаней ‖ α n ‖ {\displaystyle \|\alpha ^{n}\|} [8] від його степенів до множини цілих чисел квадратно сумовні (належать L2)[уточнити], то α {\displaystyle \alpha }  — число Пізо (і, зокрема, α {\displaystyle \alpha }  — алгебричне).

Найменшим числом Пізо є єдиний дійсний корінь кубічного рівняння x 3 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{3}-x-1=0} , відомий як пластичне число[2].

Квадратичні ірраціональності, що є числами Пізо:

Значення Многочлен Числове значення
1 + 5 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} x 2 − x − 1 {\displaystyle x^{2}-x-1} 1,618034 …
(золотий перетин)
1 + 2 {\displaystyle 1+{\sqrt {2}}} x 2 − 2 x − 1 {\displaystyle x^{2}-2x-1} 2,414214…
(срібний перетин)
3 + 5 2 {\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}} x 2 − 3 x + 1 {\displaystyle x^{2}-3x+1} 2,618034… OEIS A104457
1 + 3 {\displaystyle 1+{\sqrt {3}}} x 2 − 2 x − 2 {\displaystyle x^{2}-2x-2} 2,732051… OEIS A090388
3 + 13 2 {\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}} x 2 − 3 x − 1 {\displaystyle x^{2}-3x-1} 3,302776… OEIS A098316
(бронзовий перетин)
2 + 2 {\displaystyle 2+{\sqrt {2}}} x 2 − 4 x + 2 {\displaystyle x^{2}-4x+2} 3,414214…
3 + 17 2 {\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {17}}}{2}}} x 2 − 3 x − 2 {\displaystyle x^{2}-3x-2} 3,561553. OEIS A178255
2 + 3 {\displaystyle 2+{\sqrt {3}}} x 2 − 4 x + 1 {\displaystyle x^{2}-4x+1} 3,732051… OEIS A019973
3 + 21 2 {\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {21}}}{2}}} x 2 − 3 x − 3 {\displaystyle x^{2}-3x-3} 3,791288… OEIS A090458
2 + 5 {\displaystyle 2+{\sqrt {5}}} x 2 − 4 x − 1 {\displaystyle x^{2}-4x-1} 4,236068… OEIS A098317

Див. також

Примітки

  1. ↑ А. Егоров. Числа Пизо // Квант. — 2005. — № 5 (29 жовтня). — С. 8—13. Архівовано з джерела 4 вересня 2011.
    А. Егоров. Числа Пизо (окончание) // Квант. — 2005. — № 6 (29 жовтня). — С. 9—13. Архівовано з джерела 27 листопада 2011.
  2. ↑ а б Terr, David; Weisstein, Eric W. Pisot Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  3. ↑ В. Н. Берестовский, Ю. Г. Никоноров. Цепные дроби, группа GL(2,Z) и числа Пизо // Математические труды. — 2007. — Т. 10, № 1 (29 жовтня). — С. 97–131.
  4. ↑ Дж. В. С. Касселс. Введение в теорию диофантовых приближений. — 1961.
  5. ↑ Axel Thue, " Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann ", Christiania Vidensk. selsk. Skrifter, vol. 2, 1912, p. 1-15.
  6. ↑ Godfrey H. Hardy, " A problem of diophantine approximation ", Journal Ind. Math. Soc., vol. 11, 1919, pp. 205—243.
  7. ↑ Charles Pisot, " La répartition modulo 1 et les nombres algébriques ", Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, II, Ser. 7, 1938, p. 205—248.
  8. ↑ Тут ‖ a ‖ {\displaystyle \|a\|} означає відстань від a {\displaystyle a} до Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , тобто min ( { a } , 1 − { a } ) {\displaystyle \min(\{a\},1-\{a\})} , де { a } {\displaystyle \{a\}}  — дробова частина числа a {\displaystyle a} .

Джерело: стаття у Вікіпедії та історія редагувань (автори).