Міра Жордана

Міра Жордана — один із способів формалізації поняття довжини, площі і ${\displaystyle n}$-вимірного об'єму в ${\displaystyle n}$-вимірному евклідовому просторі.

Міра Жордана ${\displaystyle m(\mathrm{\Delta })}$, добутку напівінтервалів ${\displaystyle \mathrm{\Delta }=\prod _{i=1}^n[a_i,b_i)}$ в ${\displaystyle {ℝ}^n}$ визначається як добуток

${\displaystyle m(\mathrm{\Delta })=\prod _{i=1}^n(b_i-a_i).}$

Для обмеженої множини ${\displaystyle E\subset {ℝ}^n}$ визначаються:

• зовнішня міра Жордана

  ${\displaystyle m_e(E)=inf\sum _{k=1}^{N}m({\mathrm{\Delta }}_k),\bigcup _k{\mathrm{\Delta }}_k\supset E}$

• внутрішня міра Жордана

  ${\displaystyle m_i(E)=sup\sum _{k=1}^{N}m({\mathrm{\Delta }}_k),\bigcup _k{\mathrm{\Delta }}_k\subset E,{\mathrm{\Delta }}_k\cap {\mathrm{\Delta }}_m=\varnothing }$, якщо ${\displaystyle k\ne m,}$

де ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_N}$ — паралелепіпеди описаного вище виду.

Множина ${\displaystyle E}$ називається вимірною за Жорданом, якщо ${\displaystyle m_e(E)=m_i(E)}$. В цьому випадку міра Жордана дорівнює ${\displaystyle m(E)=m_e(E)=m_i(E)}$.

• Міра Жордана інваріантна щодо рухів евклідового простору.
• Обмежена множина ${\displaystyle E\subset {ℝ}^n}$ вимірна за Жорданом тоді і тільки тоді, коли її границя має міру Жордана рівну нулю.
• Зовнішня міра Жордана для ${\displaystyle E}$ рівна зовнішній мірі Жордана для ${\displaystyle \overline{E}}$ (замикання множини ${\displaystyle E}$) і рівна мірі Бореля ${\displaystyle \overline{E}}$.
• Вимірні за Жорданом множини утворюють кільце множин, на якому міра Жордана є скінченно-адитивною функцією.

Усі прямокутники, кулі, симплекси є вимірними за Жорданом. Простим прикладом не вимірної за Жорданом множини є множина раціональних чисел. Зовнішня міра Жордана цієї множини дорівнює 1, а внутрішня дорівнює нулю.

• Міра множини
• Міра Лебега
• Міра Гаусдорфа
• Міра Бореля

• Peano G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887. (італ.)
• Jordan C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99. (фр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2026. — 2538 с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)