Гравітаційна нестійкість

Гравітаційна нестійкість^[1] або нестійкість Джинса^[2] — поняття в астрофізиці, що описує наростання з часом неоднорідності густини речовини під дією сил тяжіння, що зрештою призводить до гравітаційного колапсу газової або пилової хмари^[3]. Нестійкість виникає, коли тиск газу недостатній, щоб протидіяти гравітаційному стисканню області, заповненої речовиною^[4]. Гравітаційна нестійкість відповідальна за зореутворення, утворення галактик і їхніх скупчень. Названа на честь Джеймса Джинса, який створив першу детальну математичну теорію цього явища.

1720 року Едмунд Галлей розглядав безмежний Всесвіт і міркував, що станеться, як у ньому еволюціонуватимуть скінченні та нескінченні системи. У скінченному випадку зорі притягувалися б до центра, а в нескінченному — усі зорі перебували б майже в рівновазі й зрештою досягли б стану спокою^[5]. На відміну від Галлея, Ісаак Ньютон у листі 1692—1693 року до Річарда Бентлі писав, що важко уявити, як частинки в нескінченному просторі можуть перебувати в такій конфігурації, яка забезпечувала б повну рівновагу^[6][7]. Ньютон припустив, що така нестійкість може бути причиною зореутворення і формування планет, і що «матерія при падінні могла б збиратися в безліч круглих мас, на зразок тіл планет»^[8].

1902 року в статті «Стабільність сферичної туманності» Джеймс Джинс розпочав розробку кількісної теорії гравітаційної нестійкості, включивши до неї тиск. Подібно до Галлея, Джинс показав, що скінченний розподіл речовини, якщо тиск не перешкоджає цьому, зазнає гравітаційного колапсу до центра. Для нескінченного розподілу можливі два сценарії. Абсолютно однорідний розподіл не має чітко визначеного центра мас і жодного гравітаційного прискорення. Але за наявності неоднорідностей Джинс підтвердив ідеї Ньютона: він показав, що малі відхилення від однорідності призводять до нестійкості^[9].

Надалі теорія гравітаційної нестійкості була розширена як на різні типи протидіючих самогравітації сил (тиск газу і випромінювання, магнітні поля, відцентрові сили в обертових системах), так і на різні геометричні конфігурації (однорідне тривимірне середовище, плоский шар, осесиметричні системи з неоднорідностями за радіусом, диски).

Джеймса Джинса, який досліджував процес гравітаційного колапсу в газовій хмарі й показав, що за певних умов хмара або її частина стає нестійкою і починає стискатися, якщо газовий тиск не може врівноважити силу гравітації. Хмара залишається стійкою за достатньо малої маси (за фіксованих температури та радіуса), але після перевищення критичної маси починається неконтрольоване стискання, доки інші сили не зупинять колапс. Джинс вивів формулу для обчислення цієї критичної маси в залежності густини та температури. Чим більша маса хмари, більший її розмір і нижча температура, тим менш стійкою вона є до гравітаційного колапсу.

Оцінку маси Джинса можна отримати з простого фізичного міркування. Розгляньмо сферичну газову хмару радіуса R, маси M і зі швидкістю поширення звуку в газі c_S. Якщо газ трохи стиснеться, то за час

$${\displaystyle t_{\text{sound}}={\frac {R}{c_{\text{s}}}}\approx 0.5{\text{ Myr}}\cdot {\frac {R}{0.1{\text{ pc}}}}\cdot \left({\frac {c_{\text{s}}}{0.2{\text{ km/s}}}}\right)^{-1}}$$

звукові хвилі пройдуть крізь цю хмару, намагаючись відновити рівновагу тиску. Водночас гравітація прагне ще більше стиснути систему й робить це за характерний час вільного падіння

$${\displaystyle t_{\text{ff}}={\frac {1}{(G\rho )^{1/2}}}\approx 2{\text{ Myr}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-1/2},}$$

де G — гравітаційна стала, ${\textstyle \rho }$ — густина газу в хмарі, а ${\textstyle n=\rho /\mu }$ — концентрація частинок газу за середньої маси частинки (маса молекули μ = 3.9 × 10⁻²⁴ г відповідає суміші 80 % молекулярного водню та 20 % гелію за кількістю частинок). Якщо час проходження звуку менший за час вільного падіння, сили тиску тимчасово переважають гравітацію, і система повертається до стійкої рівноваги. Якщо ж час вільного падіння менший, гравітація переважає сили тиску, і хмара зазнає гравітаційного колапсу. Отже, умовою колапсу є ${\displaystyle t_{\text{ff}}<t_{\text{sound}}}$.

Відповідна довжина Джинса дорівнює:

$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}={\frac {c_{\text{s}}}{(G\rho )^{1/2}}}\approx 0.4{\text{ pc}}\cdot {\frac {c_{\text{s}}}{0.2{\text{ km/s}}}}\cdot \left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-1/2}.}$$

Усі розміри хмар, більші за довжину Джинса, є нестійкими до гравітаційного колапсу, тоді як менші масштаби залишаються стійкими. Маса, що міститься в кулі радіуса ${\textstyle R_{\text{J}}={\frac {1}{2}}\lambda _{\text{J}}}$, є масою Джинса

$${\displaystyle M_{\text{J}}={\frac {4\pi }{3}}\rho R_{\text{J}}^{3}={\frac {\pi }{6}}\cdot {\frac {c_{\text{s}}^{3}}{G^{3/2}\rho ^{1/2}}}\approx 2{\text{ M}}_{\odot }\cdot \left({\frac {c_{\text{s}}}{0.2{\text{ km/s}}}}\right)^{3}\left({\frac {n}{10^{3}{\text{ cm}}^{-3}}}\right)^{-1/2}.}$$

Згодом інші астрофізики, зокрема Бінні та Тремейн^[10], зауважили, що початковий аналіз Джинса мав важливий недолік: у своїй формальній моделі він припускав, що ділянка хмари, яка колапсує, оточена нескінченним статичним середовищем, тоді як насправді це середовище також повинно колапсувати, адже всі більші масштаби за тим самим аналізом є гравітаційно нестійкими. Вплив цього середовища Джинс повністю проігнорував. Цей недолік отримав назву «шахрайство Джинса» (англ. Jeans swindle). У більш точному аналізі інші чинники, зокрема розширення Всесвіту, можуть випадково компенсують цю похибку, і результати Джинса залишаються правильними, хоча сам вивід може бути сумнівним^[11].

Альтернативне, можливо навіть простіше, виведення можна отримати з енергетичних міркувань. У міжзоряній хмарі діють дві протилежні сили: тиск газу, зумовлений тепловим рухом атомів або молекул, що складають хмару, намагається розширити її, тоді як гравітація спричиняє стискання. Маса Джинса — це критична маса, за якої ці сили врівноважуються. У наведеному виведенні числові коефіцієнти (як-от π) і фундаментальні константи (наприклад, гравітаційна стала) опускають, але їх відновлюють у кінцевому результаті.

Розгляньмо однорідну сферичну газову хмару радіуса R. Щоб стиснути цю кулю до радіуса ${\textstyle R-dR}$, потрібно виконати роботу проти тиску газу. Під час стискання вивільняється гравітаційна енергія. Коли ця енергія дорівнює роботі, яку треба виконати над газом, досягається критична маса. Нехай M — маса хмари, T — (абсолютна) температура, n — концентрація частинок, а p — тиск газу. Робота дорівнює pdV. Використовуючи рівняння стану ідеального газу ${\textstyle p=nT}$, отримуємо такий вираз для роботи:

$${\displaystyle dW=nTR^{2}\,dR.}$$

Гравітаційна потенціальна енергія кулі маси M і радіуса R (з точністю до множників) має вигляд:

$${\displaystyle U={\frac {M^{2}}{R}}.}$$

Енергію, що вивільняється під час стискання кулі від радіуса R до ${\textstyle R-dR}$, знаходимо, продиференціювавши цей вираз за R:

$${\displaystyle dU={\frac {M^{2}}{R^{2}}}\,dR.}$$

Критична маса досягається, коли вивільнена гравітаційна енергія дорівнює виконаній роботі:

$${\displaystyle {\frac {M^{2}}{R^{2}}}=nTR^{2}.}$$

Далі радіус R слід виразити через густину частинок n і масу M. Це дає співвідношення

$${\displaystyle M=nR^{3}.}$$

Після нескладних алгебраїчних перетворень отримуємо вираз для критичної маси:

$${\displaystyle M_{\text{J}}=\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{1/2}.}$$

Якщо у виведенні врахувати всі коефіцієнти, остаточна формула має вигляд

$${\displaystyle M_{\text{J}}=\left({\frac {375k_{\text{B}}^{3}}{4\pi m^{4}G^{3}}}\right)^{1/2}\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{1/2},}$$

де k_B — стала Больцмана, G — гравітаційна стала, а m — маса частинки газу. Якщо вважати, що хмара складається з атомарного водню, можна обчислити числовий коефіцієнт. Якщо виражати масу одиницях сонячної маси, температуру в Кельвінах, а концентрацію в м^–3, то ця формула набуває вигляду

$${\displaystyle M_{\text{J}}=3\times 10^{4}\left({\frac {T^{3}}{n}}\right)^{1/2}.}$$

Довжина Джинса — це критичний радіус хмари (зазвичай міжзоряної молекулярної хмари), за якого теплова енергія, що спричиняє розширення хмари, урівноважується гравітацією, яка намагається її стиснути.

Формула для довжини Джинса має вигляд:

$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}=\left({\frac {15k_{\text{B}}T}{4\pi G\mu \rho }}\right)^{1/2},}$$

де k_B — стала Больцмана, T — температура хмари, μ — середня маса молекул газу, G — гравітаційна стала, а ρ — густина^[12][13].

Фізичний сенс довжини Джинса можна зрозуміти, якщо знехтувати множниками 15 і 4π та замінити ρ на ${\textstyle M/r^{3}}$. Тоді формула набуває вигляду

$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}\approx \left({\frac {k_{\text{B}}Tr^{3}}{GM\mu }}\right)^{1/2},}$$

де r — радіус хмари. Звідси безпосередньо випливає, що ${\textstyle \lambda _{\text{J}}=r}$ за умови ${\textstyle k_{\text{B}}T=GM\mu /r}$, тобто коли теплова енергія частинки дорівнює її гравітаційній енергії. За цієї критичної довжини хмара не розширюється і не стискається. Якщо ж ці величини не рівні, хмара або розширюється й охолоджується, або стискається й нагрівається — і цей процес триває, доки система не досягне рівноваги.

Якщо розглядають задачу не про колапс обмеженої газової хмари, а про розвиток неоднорідностей в необмеженому середовищі, то довжина Джинса набуває сенсу найменшої довжини хвилі, на якій розвивається нестійкість. Відповідне хвильове число k_J називають хвильовим числом Джинса. У цьому випадку$${\displaystyle \lambda _{\text{J}}={\frac {2\pi }{k_{\text{J}}}}=c_{\text{s}}\left({\frac {\pi }{G\rho }}\right)^{1/2},}$$

де G — гравітаційна стала, c_S — швидкість звуку, а ρ — середня густина.

Нестійкість Джинса за певних умов може призводити до фрагментації. Для виведення умов фрагментації розглядають на основі різних політропних рівнянь стану виду ${\displaystyle P=K\rho ^{\gamma }}$, а отже ${\displaystyle T\propto \rho ^{\gamma -1}}$. Тоді маса Джинса ${\displaystyle M_{\text{J}}\propto T^{3/2}\rho ^{-1/2}\propto \rho ^{(3/2)(\gamma -1)}\rho ^{-1/2}}$.

Якщо показник політропи ${\textstyle \gamma >{\frac {4}{3}}}$, маса Джинса зростає зі збільшенням густини, тоді як при ${\textstyle \gamma <{\frac {4}{3}}}$ вона зменшується зі зростанням густини. Під час гравітаційного колапсу густина завжди зростає^[14], тому в другому випадку маса Джинса під час колапсу зменшується, що дозволяє колапсувати меншим ділянкам газу і призводить до фрагментації гігантської молекулярної хмари. Для ідеального одноатомного газу показник адіабати дорівнює 5/3. Однак в астрофізичних об'єктах це значення зазвичай близьке до 1 (наприклад, у частково іонізованому газі за температур, малих порівняно з енергією іонізації)^[15]. Загалом процес не є строго адіабатичним, оскільки супроводжується радіаційним охолодженням, яке відбувається значно швидше за стискання, тому його можна описати ефективним адіабатичним показником, близьким до 1 (що відповідає політропному показнику ізотермічного газу). Таким чином, другий випадок є радше правилом, ніж винятком у зорях. Саме тому зорі зазвичай формуються в скупченнях.

Характерним часом для гравітаційної нестійкості є час вільного падіння, за який вільне падіння однорідної сферичної газової хмари стискає її в точку. Якщо знехтувати тиском газу, то для сферичної оболонки на відстані ${\displaystyle r}$ від центру прискорення гравітації описується рівнянням руху^[16]:

${\displaystyle {\ddot {r}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}}$,

де ${\displaystyle m}$ — маса всередині сфери радіуса ${\displaystyle r}$. Якщо виразити масу через початкову густину ${\displaystyle \rho _{0}}$ та проінтегрувати це рівняння за часом, можна знайти швидкість колапсу. Подальше розв'язання отриманого диференціального рівняння за допомогою тригонометричної заміни змінних показує, що стиснення є гомологічним: відносне зменшення радіуса відбувається однаково для всіх масових оболонок, тому сфера постійно залишається однорідною. Час, необхідний для того, щоб матерія досягла центру (${\displaystyle r=0}$), визначається формулою^[17]:

${\displaystyle t_{\text{ff}}={\sqrt {\frac {3\pi }{32G\rho _{0}}}}}$.

Час вільного падіння є однаковим для всіх оболонок хмари і залежить лише від початкової густини. Проте в реальних астрофізичних умовах наближення вільного падіння порушується ще до досягнення центру: у процесі стиснення газ стає непрозорим, його температура зростає, і виникає тиск, який зупиняє колапс^[18].

• Маса Боннора — Еберта
• Нестійкість Релея — Тейлора

• Jeans, J. H. (1902). The Stability of a Spherical Nebula. Philosophical Transactions of the Royal Society A. 199 (312—320): 1—53. Bibcode:1902RSPTA.199....1J. doi:10.1098/rsta.1902.0012. JSTOR 90845.
• Longair, Malcolm S. (1998). Galaxy Formation. Berlin: Springer. ISBN 3-540-63785-0.
• Clarke, Cathie; Carswell, Bob (2007). Astrophysical Fluid Dynamics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85331-6.
• Binney, James; Tremaine, Scott. Chapter 5, Stability of Collisionless Systems. Galactic Dynamics. ISBN 0-691-08445-9.
• Kippenhahn R., Weigert A., Weiss A. Nuclear Energy Production // Stellar Structure and Evolution. — Second Edition. — Heidelberg New York Dordrecht London : Springer, 2012. — С. 175-209. — ISBN 978-3-642-30255-8. — DOI:10.1007/978-3-642-30304-3.