YaChudo

Лема Адамара

Переглядів: 0. Оновлено 05.11.2026.

Лема Адамара (англ. Hadamard's lemma) — твердження, що описує будову гладкої дійсної функції. Названа на честь французького математика Жака Адамара.

Нехай f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } — функція класу C r {\displaystyle \,C^{r}} , де r ≥ 1 {\displaystyle r\geq 1} , визначена у випуклому околі U {\displaystyle U} точки 0 {\displaystyle 0} . Тоді існують такі функції g 1 , … , g n : R n → R {\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } класу C r − 1 {\displaystyle \,C^{r-1}} , визначені в U {\displaystyle U} , що для всіх x = ( x 1 , … , x n ) ∈ U {\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in U} має місце рівність

f ( x 1 , … , x n ) = f ( 0 ) + ∑ i = 1 n x i g i ( x 1 , … , x n ) ,   g i ( 0 ) = ∂ f ∂ x i ( 0 ) . {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(0)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ \quad g_{i}(0)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0).}

Якщо функція f {\displaystyle f} — аналітична, то й функції g 1 , … , g n {\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}} у наведеній вище формулі аналітичні.

Узагальнене формулювання

Лема Адамара може бути сформульована у загальнішій формі, коли частина змінних грає роль параметрів.

Нехай f ( x , y ) : R n × R m → R {\displaystyle f(x,y):\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} } — функція класу C r {\displaystyle \,C^{r}} , де r ≥ 1 {\displaystyle r\geq 1} , визначена на випуклому околі U {\displaystyle U} точки 0 {\displaystyle 0} , при цьому x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})} і y = ( y 1 , … , y m ) {\displaystyle y=(y_{1},\ldots ,y_{m})} . Тоді існують такі функції g 1 ( x , y ) , … , g n ( x , y ) : R n × R m → R {\displaystyle g_{1}(x,y),\ldots ,g_{n}(x,y):\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} } класу C r − 1 {\displaystyle \,C^{r-1}} , визначені в U {\displaystyle U} , що для всіх ( x , y ) ∈ U {\displaystyle (x,y)\in U} має місце рівність

f ( x , y ) = f ( 0 , y ) + ∑ i = 1 n x i g i ( x , y ) ,   g i ( 0 , y ) = ∂ f ∂ x i ( 0 , y ) . {\displaystyle f(x,y)=f(0,y)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g_{i}(x,y),\ \quad g_{i}(0,y)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0,y).}

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію f ( t x , y ) = f ( t x 1 , … , t x n , y 1 , … , y m ) {\displaystyle f(tx,y)=f(tx_{1},\ldots ,tx_{n},y_{1},\ldots ,y_{m})} , де t {\displaystyle t} — додаткова дійсна змінна (параметр). Нехай t {\displaystyle t} пробігає значення з відрізку [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} , тоді функція f ( t x , y ) {\displaystyle \,f(tx,y)} , що розглядається як функція R n + m → R {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} } при кожному фіксованому значенні параметра t {\displaystyle t} , пробігає в просторі функцій від n + m {\displaystyle n+m} змінних деяку криву з кінцями f ( 0 , y ) {\displaystyle \,f(0,y)} и f ( x , y ) {\displaystyle \,f(x,y)} .

Розглядаючи f ( t x , y ) {\displaystyle \,f(tx,y)} як функцію змінної t {\displaystyle t} , залежну від параметрів x ∈ R n {\displaystyle x\in R^{n}} і y ∈ R m {\displaystyle y\in R^{m}} , і застосувуючи формулу Ньютона—Лейбніца, можна записати:

f ( x , y ) − f ( 0 , y ) = ∫ 0 1 d f ( t x , y ) d t d t = ∫ 0 1 ∑ i = 1 n x i ∂ f ∂ x i ( t x , y ) d t = ∑ i = 1 n x i g i ( x , y ) , {\displaystyle f(x,y)-f(0,y)=\int _{0}^{1}{\frac {df(tx,y)}{dt}}\,dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,y)\,dt=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x,y),}

де

g i ( x , y ) := ∫ 0 1 ∂ f ∂ x i ( t x , y ) d t . {\displaystyle g_{i}(x,y):=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,y)\,dt.}

Необхідна гладкість функцій g i ( x , y ) {\displaystyle g_{i}(x,y)\,} випливає з відомої теореми про диференціювання інтеграла, що залежить від параметра.

Застосування

Лема Адамара дозволяє отримати низку корисних наслідків, що знаходять застосування в різних розділах математики, в першу чергу, в теорії особливостей.

  • За допомогою леми Адамара легко доводиться Лема Морса.
  • Інший корисний наслідок леми Адамара (в її узагальненому вигляді) полягає в тому, що якщо росток гладкої функції f ( x , y 1 , … , y m ) {\displaystyle f(x,y_{1},\ldots ,y_{m})} обертається в нуль на гіперплощині x = 0 {\displaystyle \,x=0} , то його можна подати у вигляді f = x g ( x , y 1 , … , y m ) , {\displaystyle f=x\,g(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),} де g {\displaystyle \,g} — деяка гладка функція.
  • Звідси слідує, що для ростка довільної гладкої функції f ( x , y 1 , … , y m ) {\displaystyle f(x,y_{1},\ldots ,y_{m})} має місце подання f = f 0 ( y 1 , … , y m ) + x g ( x , y 1 , … , y m ) , {\displaystyle f=f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m})+x\,g(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),} де f 0 = f ( 0 , y 1 , … , y m ) {\displaystyle f_{0}=f(0,y_{1},\ldots ,y_{m})} і g {\displaystyle \,g} — гладкі функції.
  • Застосовуючи індукцію, звідси неважко отримати також загальніше представлення:
f = f 0 ( y 1 , … , y m ) + x f 1 ( y 1 , … , y m ) + ⋯ + x n f n ( y 1 , … , y m ) + x n + 1 g ( x , y 1 , … , y m ) , {\displaystyle f=f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m})+x\,f_{1}(y_{1},\ldots ,y_{m})+\cdots +x^{n}\,f_{n}(y_{1},\ldots ,y_{m})+x^{n+1}\,g(x,y_{1},\ldots ,y_{m}),}

де f i ( y 1 , … , y m ) {\displaystyle f_{i}(y_{1},\ldots ,y_{m})} и g {\displaystyle \,g} — гладкі функції та n {\displaystyle \,n} — довільне натуральне число.

Див. також

Джерела

Джерело: стаття у Вікіпедії та історія редагувань (автори).