Компактний простір

Компа́ктний про́стір — це такий топологічний простір, що для будь-якого його відкритого покриття знайдеться скінчене підпокриття.

В топології, компактні простори за своїми властивостями нагадують скінченні множини в теорії множин.

В математичному аналізі компактна множина — це обмежена й замкнута множина в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

• Підмножину топологічного простору, що в індукованій топології є компактним простором, називають компактною множиною або компактом.
• Множину називають відносно компактною чи передкомпактною, якщо її замикання компактне.
• Локально компактний простір — топологічний простір, в якому будь-яка точка має окіл, замикання якого компактне.
• Секвенційно компактний простір — топологічний простір, у якому з кожної послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.
• Зліченно компактний простір — топологічний простір, із кожного зліченного покриття якого можна виділити скінченне підпокриття.
• Слабко зліченно компактний простір — має таку властивість, що кожна нескінченна підмножина має граничну точку.

• Кожна замкнена підмножина компактного топологічного простору є компактною
• Для будь-якого неперервного відображення образ компакта — компакт.
• Компактна підмножина гаусдорфового простору є замкнена.
• Теорема Тихонова: добуток довільного числа компактних множин (з топологією добутку) компактний.
• Будь-яке неперервне взаємно-однозначне відображення компакта в гаусдорфів простір є гомеоморфізмом.
• У компактних просторах кожне центроване сімейство замкнених множин, тобто сімейство, в якому перетини скінченних підсімейств не порожні, має непорожній перетин. Див. також Лема про вкладені відрізки.
• Кожна неперервна функція із компактного топологічного простору в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ є обмеженою і досягає свого найбільшого і найменшого значення.
• Образ компактного топологічного простору при неперервному відображенні також є компактним

• Метричний простір компактний тоді і тільки тоді, коли будь-яка послідовність точок в ньому містить підпослідовність, що збігається.
• Для скінченовимірних евклідових просторів підпростір є компактом тоді і тільки тоді, коли він обмежений і замкнений. Про простори, що мають таку властивість, говорять, що вони задовольняють властивості Гейне — Бореля. Див. також Теорема Больцано — Вейєрштрасса.
• Лема Лебега: Для будь-якого компактного метричного простору і відкритого покриття ${\displaystyle \{V_{\alpha }\},\ \alpha \in A}$ існує додатне число ${\displaystyle \,\!r}$ таке, що будь-яка підмножина, діаметр якої менший за ${\displaystyle \,\!r}$, міститься в одній з множин ${\displaystyle \,\!V_{\alpha }}$. Таке число називають числом Лебега.
• У компактних просторах кожен ультрафільтр збігається принаймні до однієї точки.
• Для метричних просторів наступні твердження є еквівалентними: компактність; повнота та цілком обмеженість; секвенційна компактність; зліченна компактність.

• в будь-якому топологічному просторі множина, що складається з однієї точки, а також будь-яка скінченна, завжди компактна.
• замкнені й обмежені множини в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• теорема Асколі — Арцела дає характеризацію компактних множин для деяких функціональних просторів. Розглянемо простір ${\displaystyle C(X)}$ неперервних функцій на метричному компактному просторі ${\displaystyle X}$ з нормою ${\displaystyle \|f\|=\sup _{x}|f(x)|}$. Тоді замикання множини функцій ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle C(X)}$ компактне тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle F}$ рівномірно обмежена і рівностепенево (одностайно) неперервна.
• простір Стоуна булевої алгебри
• компактифікація топологічного простору
• Компактні групи Лі

Бікомпактний простір — термін, введений П. С. Александровим як посилення введеного М.Фреше поняття компактного простору: топологічний простір компактний — в первинному смислі слова — якщо в кожному зліченному відкритому покритті цього простору міститься його скінченне підпокриття. Проте подальший розвиток математики показав, що поняття бікомпактності настільки важливіше за первинне поняття компактності, що в наш час під компактністю розуміють саме бікомпактність, а компактні в старому смислі простори називають зліченно-компактними. Обидва поняття рівносильні в застосуванні до метричних просторів.

• Компактифікація Стоуна — Чеха
• Локально компактний простір
• Одноточкова компактифікація
• Теорема Александрова про компактифікацію

• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Банах С. Диференціальне та інтегральне числення = Rachunek różniczkowy i całkowy. — 2-е. — М. : Наука, 1966. — 436 с.(рос.)
• Ахієзер Н.І., Глазман І.М. Теорія лінійних операторів у гільбертовому просторі. — 2025. — 663 с.(укр.)
• Березанський Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функціональний аналіз : [укр.] = Functional Analysis, Vol. I, Kyiv : Institute of Mathematics, 2010. : [пер. з англ.] : підручник. — Л. : Видавець Чижиков І. Е., 2014. — С. 559. — (Університетська бібліотека). — ISBN 978-966-2645-12-5.
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Жалдак М.І., Михалін Г.О., Деканов С.Я. Математичний аналіз. Функції багатьох змінних: Навчальний посібник. — К. : НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. — 430 с.(укр.)