Лема Лебега

Лема Лебега у теорії метричних просторів стверджує, що для будь-якого відкритого покриття ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ компактного метричного простору ${\displaystyle X}$ існує число ${\displaystyle \delta >0}$ таке, що будь-яка підмножина діаметра ${\displaystyle \delta }$ в ${\displaystyle X}$ міститься хоча б в одному елементі покриття ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$.

Таке число ${\displaystyle \lambda }$ називається числом Лебега покриття ${\displaystyle P}$.

Для некомпактних метричних просторів це твердження не є вірним, можливо навіть побудувати двоелементне покриття дійсної прямої, для якого немає жодного числа Лебега.

Нехай ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ — відкрите покриття простору ${\displaystyle X}$. Оскільки ${\displaystyle X}$ є компактним простором можна вважати покриття скінченним з елементами ${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{n}\}\subseteq {\mathcal {U}}}$. Якщо якась із множин ${\displaystyle A_{i}}$ є рівною ${\displaystyle X}$ то будь-яке число ${\displaystyle \delta >0}$ буде числом Лебега. В іншому випадку для кожного ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$, позначимо ${\displaystyle C_{i}:=X\setminus A_{i}}$ і ці множини будуть непорожніми. Введемо функцію ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ визначену як ${\displaystyle f(x):={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(x,C_{i})}$.

Функція ${\displaystyle f}$ є неперервною на компактній множині і тому набуває свого мінімального значення ${\displaystyle \lambda }$. Образ ${\displaystyle f(X)}$ як образ компактної множини при неперервному відображенні, теж є компактною, а тому і замкнутою множиною. Оскільки ${\displaystyle 0\not \in f(X)}$ то ${\displaystyle \lambda >0}$. Нехай число ${\displaystyle 0<\delta <\lambda }$.

Якщо ${\displaystyle Y}$ є підмножиною ${\displaystyle X}$ діаметру ${\displaystyle \delta }$, то існує ${\displaystyle x_{0}\in X}$, така що ${\displaystyle Y\subseteq B_{\delta }(x_{0})}$, де ${\displaystyle B_{\delta }(x_{0})}$ позначає кулю радіуса ${\displaystyle \delta }$ з центром у точці ${\displaystyle x_{0}}$ (за ${\displaystyle x_{0}}$ можна обрати будь-яку точку множини ${\displaystyle Y}$). Оскільки ${\displaystyle f(x_{0})\geq \lambda >\delta }$ то хоча б для одного ${\displaystyle i}$ виконується нерівність ${\displaystyle d(x_{0},C_{i})>\delta }$. Але це означає, що ${\displaystyle B_{\delta }(x_{0})\subset A_{i}}$ і тому ${\displaystyle Y\subseteq A_{i}}$.

• Метричний простір

• Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619