Дванадцятигранник

Дванадцятигранник або додекаедр (дав.-гр. δωδεκάεδρον (dōdekáedron) ; від грец. δώδεκα (dṓdeka) — дванадцять і грец. ἕδρα (hédra) — грань) — довільний многогранник із дванадцятьма гранями.

Існує 6 384 634 топологічно різних опуклих додекаедрів, не враховуючи тих, що отримані шляхом дзеркального відбиття, з кількістю вершин від 8 до 20.^[1]

(Два многогранники вважають «топологічно різними», якщо вони мають різну структуру розташування граней і вершин, так що неможливо перетворити один в інший, просто змінивши довжини ребер або кути між ребрами чи гранями).

Найбільш відомий додекаедр — це правильний додекаедр, всі грані якого є правильними п'ятикутниками. Він є найбільш симетричним з усіх опуклих додекаедрів, має ікосаедричну симетрію I_h, порядок 120.

Деякі додекаедри мають таку ж комбінаторну структуру, як і правильний додекаедр (в сенсі графа, утвореного його вершинами і ребрами), але їх п'ятикутні грані не є правильними:

— піритоедр, поширена кристалічна форма піриту, має піритоедричну симетрію T_h,

— тетартоїд має хіральну тетраедричну симетрію T.

Ромбододекаедр можна розглядати як граничний випадок піритоедра, і він має октаедричну симетрію O_h. Ромбододекаедр є паралелоедром, зоноедром а також двоїстим до кубооктаедра (напівправильного многогранника Архімеда). Ромбо-шестикутний додекаедр (або подовжений додекаедр, або гексоромбододекаедр), ромбо-трапецоїдний додекаедр а також ромбододекаедр можуть утворювати стільники, що замощують тривимірний простір без проміжків та накладень.

Опуклий правильний додекаедр є одним з п'яти правильних многогранників Платона і може бути представлений своїм символом Шлефлі як {5, 3}, тобто кожна вершина оточена трьома правильними п'ятикутними гранями.

Двоїстим многогранником до правильного додекаедра є правильний ікосаедр {3, 5}, кожна вершина якого оточена п'ятьма правильними трикутними гранями.

Опуклий правильний додекаедр має три зірчасті форми; всі три є правильними зірчастими многогранниками Кеплера — Пуансо. Їх гранями є правильні п'ятикутники та правильні пентаграми.

Характерною особливістю правильного додекаедра (також і правильного ікосаедра) є наявність в нього осей обертової симетрії 5-го порядку, які не дозволені правилами кристалографії ^{[2]:Стор.41}, тобто в природі не існує кристалів мінералів, що мають форму правильного додекаедра. Проте можна зустріти квазікристали у формі правильного додекаедра (наприклад, квазікристал гольмій — магній — цинку (Ho-Mg-Zn)). Також існують мінерали, що мають форму додекаедра з неправильними гранями (наприклад, пірит).

В кристалографії в деяких класах симетрії кубічної кристалічної системи можуть траплятися два основних види додекаедрів, які топологічно еквівалентні правильному додекаедру, але мають менший порядок симетрії (тобто менш симетричні): піритоедр з піритоедричною симетрією і тетартоїд з хіральною тетраедричною симетрією:

Піритоедр^[3][4][5] (або пентагондодекаедр ^{[6]:Стор.80-81 [7]:Стор.136},) — це додекаедр з піритоедричною симетрією (T_h). Має 12 конгруентних п'ятикутних дзеркально-симетричних граней (тобто симетричних відносно осі, що проходить через вершину і середину протилежної сторони).

Має 20 вершин, розділених на два типи; в кожній вершині сходяться три грані.

Його 30 ребер також розділені на два типи — 24 і 6 ребер однакової довжини.

Єдиними осями обертової симетрії є три взаємно перпендикулярні осі 2-го порядку та чотири осі 3-го порядку. Осі симетрії п'ятого порядку відсутні, що дозволяє цьому многограннику бути формою для кристалів. Зокрема, форму піритоедру має кристал мінералу піриту.

Кристал піриту найчастіше зустрічається у двох поширених кристалічних формах — піритоедр та куб. У піриту, що має форму піритоедру, грані мають індекс Міллера {2,1,0}, що означає, що двогранний кут становить 2·arctan(2) ≈ 126,87°, а кути кожної п'ятикутної грані становлять: кут ≈ 121,6° розташований між двома кутами ≈ 106,6° і навпроти двох кутів ≈ 102,6°. Наступні формули описують розміри граней ідеального кристала (який рідко зустрічається в природі).

${\displaystyle {\text{Висота}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\cdot L}$

${\displaystyle {\text{Ширина}}={\frac {4}{3}}\cdot L}$

${\displaystyle l={\sqrt {\frac {7}{12}}}\cdot L}$

де ${\displaystyle l}$ — довжина короткого ребра многогранника; ${\displaystyle L}$ — довжина довгого ребра.

Вісім вершин, що формують вершини куба, вписаного в многогранник, мають координати: (±1, ±1, ±1). При цьому довжина ребер куба дорівнює 2.

Координати інших дванадцяти вершин:

(0, ±(1 + h), ±(1 − h²)), (±(1 + h), ±(1 − h²), 0) та (±(1 − h²), 0, ±(1 + h)).

де h — висота клиноподібного «даху» над гранями куба.

При h = 0 отримаємо вироджений піритоедр, що має форму куба, але з додатковими вершинами та ребрами на його гранях.

При h = 1/2 (чверть довжини ребра куба), отримаємо «бездоганний» (з геометричної точки зору) кристал природного піриту. Також в цьому випадку многогранник є піритоедром у моделі Вейра — Фелана.

При h = 1/φ = √5 − 1/2= 0.618…, отримаємо правильний додекаедр.

При h = 1 отримаємо вироджений піритоедр, у якого деякі вершини збігаються, а ребра між ними зменшуються до нульової довжини; він приймає форму ромбдодекаедра.

Піритоедр має деякий ступінь свободи у геометричній будові; при цьому на одній межі маємо куб, коли певні ребра стають колінеарними одне до одного, а на іншій межі маємо ромбододекаедр, коли 6 ребер вироджуються до нульової довжини. Правильний додекаедр являє собою особливий проміжний випадок, коли всі ребра і кути рівні.

Можна перетнути ці граничні випадки, та отримати при цьому неопуклі піритоедри.

Перетнувши нижню межу опуклого піритоедру, що має вигляд куба, отримаємо неопуклі його форми; неопуклий піритоедр з рівними сторонами (ендо-додекаедр) в поєднанні з опуклим правильним додекаедром може утворювати стільники, що замощують тривимірний простір без проміжків та накладень.

Продовжуючи деформацію многогранника у цьому напрямку, ми проходимо через вироджений випадок, коли дванадцять вершин збігаються в центрі, і переходимо до правильного великого зірчастого додекаедра, в якого всі ребра і кути знову рівні, а грані приймають форму правильних пентаграм.

Перетнувши верхню межу опуклого піритоедру, що має вигляд ромбододекаедра, отримаємо неопуклий рівносторонній додекаедр з рибоподібними рівносторонніми п'ятикутними гранями з самоперетином.

• 
  Індекс грані {10,9,0}
• 
  Індекс грані {2,1,0}
• 
  Індекс грані {7,1,0}

Тетартоїд (також тетрагональний п'ятикутний додекаедр ^{[7]:Стор.140-141; 144}, пентагонтритетраедр ^{[6]:Стор.79} і тетраедричний пентагондодекаедр) — це додекаедр з хіральною тетраедричною симетрією (Т).

Має 12 конгруентних п'ятикутних граней.

Має 20 вершин, розділених на три типи; в кожній вершині сходяться три грані.

Його 30 ребер також розділені на три типи — 12, 12 і 6 ребер однакової довжини.

Осі обертової симетрії 5-го порядку відсутні, що дозволяє цьому многограннику бути формою для кристалів.

Назва тетартоїд має грецьке коріння, та означає «четверта частина», оскільки він має одну четверту від повної октаедричної симетрії і половину піритоедричної симетрії.^[8]

Таку форму симетрії (пентагон-тритетраедричну) може мати мінерал кобальтин.^[9]

Тетартоїд має два вироджених граничних випадки, які топологічно еквівалентні самому многограннику та мають його симетрію. Вони являють собою з одного боку — куб з додатковими ребрами на гранях (але не колінеарними до його ребер) та додатковими вершинами на ребрах куба; з іншого боку — тетраедр, кожне ребро якого поділено на три частини і кожна з двох нових вершин з'єднується з центром грані. (В нотації многогранників Конвея це є скручений тетраедр).

Наступні точки є вершинами п'ятикутника тетартоїда з тетраедричною симетрією:

(a, b, c); (−a, −b, c); (−n/d₁, −n/d₁, n/d₁); (−c, −a, b); (−n/d₂, n/d₂, n/d₂),

при наступних умовах:^[10]

0 ≤ a ≤ b ≤ c,

n = a²c − bc²,

d₁ = a² − ab + b² + ac − 2bc,

d₂ = a² + ab + b² − ac − 2bc,

nd₁d₂ ≠ 0.

Правильний додекаедр є тетартоїдом, всі грані якого правильні п'ятикутники, тобто він має більш розширену симетрію, ніж необхідно для тетартоїда.

Триакіс тетраедр є виродженим тетартоїдом, у якого 12 ребер зменшені до нульової довжини. (На рисунку основної таблиці вище: білі вершини і зелені ребра поглинуться зеленими вершинами.)

Ще одним прикладом додекаедра з п'ятиткутними гранями є двоїстий многогранник до трисхилого повернутого біантикупола, тобто многогранника, що отриманий шляхом з'єднання двох трисхилих антикуполів основами в повернутій орієнтації.

Цей многогранник має D_3d симетрію, порядку 12. Його грані — дві групи з трьох конгруентних п'ятикутних граней розділені поясом з 6-ти конгруентних п'ятикутних граней, які поєднані між собою з чергуванням орієнтації.

Ромбододекаедр — це додекаедр, що має дванадцять ромбічних граней та володіє октаедричною симетрією. Він є зоноедром, а також двоїстим до квазіправильного кубооктаедра (архімедового тіла); зустрічається в природі у вигляді кристалів. Ромбододекаедр утворює стільники, що заповнюють тривимірний простір без проміжків та накладень.

Ромбододекаедр можна розглядати як вироджений піритоедр, у якого 6 певних ребер зменшені до нуля, а отже, п'ятикутники перетворюються на ромбічні грані.

Ромбододекаедр має кілька зірчастих форм, перша з яких також утворює стільник для замощення простору.

Інший важливий ромбододекаедр — додекаедр Білінського, має дванадцять граней, що конгруенті граням ромботриаконтаедра, тобто діагоналі знаходяться у співвідношенні золотого перетину. Він також є зоноедром і був описаний Білінським у 1960 році.^[11] Цим многогранником можна замостити простір без проміжків та накладень, а також він може зустрічатися в неперіодичних стільниках разом з ромботриаконтаедром, ромбоікосаедром і ромбогексаедром.^[12]

Як було зазначено вище, існує 6 384 634 топологічно різних опуклих додекаедрів, не враховуючи тих, що отримані шляхом дзеркального відбиття, з кількістю вершин від 8 до 20.^[1]

Деякі топологічно різні додекаедри (за винятком додекаедрів з п'ятикутними та ромбічними гранями):

• Однорідні многогранники:
  • Десятикутна призма — грані: 10 квадратів, 2 правильних десятикутників; симетрія: D_10h, порядок 40.
  • П'ятикутна антипризма — грані: 10 правильних трикутників, 2 правильних п'ятикутників; симетрія: D_5d, порядок 20
• Многогранники Джонсона (правильногранні):
  • П'ятисхилий купол — грані: 5 правильних трикутників, 5 квадратів, 1 правильний п'ятикутник, 1 правильний десятикутник; симетрія: C_5v, порядок 10
  • Кирпатий двоклиноїд — грані: 12 правильних трикутників, симетрія: D_2d, порядок 8
  • Подовжена чотирикутна біпіраміда — грані: 8 правильних трикутників та 4 квадратів; симетрія: D_4h, порядок 16
  • Двічі косо відсічений ікосаедр — грані: 10 правильних трикутників та 2 правильних п'ятикутників; симетрія: C_2v, порядок 4
• З конгруентними неправильними гранями: (гране-транзитивні)
  • Шестикутна біпіраміда — грані: 12 рівнобедрених трикутників; симетрія: D_6h, порядок 24 — двоїстий до шестикутної призми.
  • Шестикутний трапецоедр — грані: 12 дельтоїдів; симетрія: D_6d, порядок 24 — двоїстий до шестикутної антипризми.
  • Триакіс тетраедр — грані:12 рівнобедрених трикутників; симетрія: T_d, порядок 24 — двоїстий до зрізаного тетраедра (многогранника Архімеда).
• Інші додекаедри з меншою кількістю правильних граней:
  • Одинадцятикутна піраміда — грані: 11 рівнобедрених трикутників та 1 правильний одинадцятикутник; симетрія: C_11v, порядок 11
  • Ромбо-трапецоїдний додекаедр — грані: 6 ромбів, 6 трапецій; симетрія: D_3h, порядок 12 — двоїстий до трисхилого прямого бікупола (многогранника Джонсона J₂₇).
  • Ромбо-шестикутний додекаедр або подовжений додекаедр — грані: 8 ромбів та 4 правильних шестикутників; симетрія: D_4h, порядок 16
  • Зрізаний п'ятикутний трапецоедр — симетрія: D_5d, порядок 20, топологічно еквівалентний до правильного додекаедра.

• І.М. Фодчук, О.О. Ткач. Основи кристалографії: навчальний посібник. — Чернівці : ЧНУ ім. Юрія Федьковича, 2007. — 108 с.

• Л. О. Бірюкович. Кристалографія, Кристалохімія та Мінералогія. Підручник. — Київ : КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2018. — 234 с.

• Wadsworth, M. Edward. Crystallography : an elementary manual for the laboratory. — Philadelphia : J.J. McVey, 1909. — 400 с.

• Weisstein, Eric W. Pyritohedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Pyritohedron(англ.) на сайті Polytope Wiki.
• Tetartoid(англ.) на сайті Polytope Wiki.