Гексаміно

Гексаміно — шестиклітинне поліміно, тобто плоска фігура, що складається з шести рівних квадратів, з'єднаних сторонами. З фігурами гексаміно, як і з усіма поліміно, пов'язано багато задач цікавої математики.

Якщо не вважати різними фігури, що збігаються при поворотах і дзеркальних відбиттях, то різних («вільних») форм гексаміно налічується 35 (див. рисунок).^[1][2] Існує 60 видів «односторонніх» гексаміно (якщо дзеркальні відбиття вважати різними фігурами) та 216 видів «фіксованих» гексаміно (різними вважаються також і повороти).^[3]

35 вільних фігур гексаміно за властивостями симетрії можна поділити на 5 категорій:

• 20 гексаміно (на малюнку зображені сірим кольором) асиметричні;
• 6 гексаміно (зображені червоним) мають вісь симетрії, паралельну лініям квадратної сітки;
• 2 гексаміно (зображені зеленим) мають діагональну вісь симетрії;
• 5 гексаміно (зображені синім) мають центральну (обертову) симетрію другого порядку;
• 2 гексаміно (зображені фіолетовим) мають дві осі симетрії, паралельні лініям сітки.

Для односторонніх гексаміно (тобто якщо дзеркальні відбиття фігур вважати різними), кількості в першій і четвертій категоріях подвоюються, що додає 25 гексаміно, тобто загалом 60. Для фіксованих гексаміно (тобто якщо повороти також розглядати як різні фігури) перша категорія зростає у вісім разів, порівняно з вільними гексаміно, наступні три категорії — у чотири рази, а остання категорія — удвічі. Це дасть ${\displaystyle 20\times 8+(6+2+5)\times 4+2\times 2=216}$ фіксованих гексаміно.

Хоча повний набір із 35 гексаміно має загальну площу 210 квадратів, із них неможливо скласти будь-який прямокутник такої площі (3×70, 5×42, 6×35, 7×30, 10×21, 14×15) — на відміну від 12 пентаміно, з яких можна скласти будь-який із 5×12 та 6×10. Довести це можна, розфарбувавши гексаміно та прямокутник у шаховому порядку. Тоді 11 фігур гексаміно матимуть парну кількість квадратів обох кольорів (2 білих і 4 чорних або навпаки), а решта 24 гексаміно — непарну (3 білих та 3 чорних). Отже, в будь-якій фігурі, складеній із повного набору гексаміно, кількість квадратів кожного кольору буде парною. Але будь-який прямокутник із 210 квадратів матиме 105 чорних квадратів і 105 білих, тобто непарну кількість.

Проте є інші симетричні фігури з 210 квадратів, які можна скласти з гексаміно. Наприклад, квадрат 15×15 із прямокутним отвором 3×5 у центрі має 106 білих і 104 чорних квадрати (або навпаки) і його можна скласти з повного набору 35 гексаміно.^[4]

• 
  «Паралелограм» 15×14 із зубчастими бічними сторонами
• 
  Прямокутник 19×11 з одноклітинним виступом
• 
  Прямокутник 13×16 із двома виступами
• 
  «Трикутник» із зубчастою гіпотенузою
• 
  Прямокутник 17×15 із хрестоподібним отвором

Крім того, з 60 односторонніх гексаміно, що мають загальну площу 360 одиничних квадратів, можна скласти прямокутники 5×72, 6×60, 8×45, 9×40, 10×36, 12×30, 15×24 та 18×20.^[5]

11 із 35 фігур гексаміно є розгортками куба (див. малюнок). Скласти з них прямокутник площею 66 одиничних квадратів неможливо.^[6]

• Голомб С.В.. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М. : Мир, 1975. — 207 с.
• Solomon W. Golomb. Polyominoes. — 2nd ed. — Princeton, New Jersey : Princeton University Press, 1994. — ISBN 0-691-02444-8.
• Гарднер М. Математические новеллы. — М. : Мир, 1974.
• D. Hugh Redelmeier. Counting polyominoes: yet another attack // Discrete Mathematics : журнал. — 1981. — Т. 36 (23 жовтня). — С. 191–203. — DOI:10.1016/0012-365X(81)90237-5.
• Daniel A. Rawsthorne. Tiling complexity of small n-ominoes (n<10) // Discrete Mathematics : журнал. — 1988. — Т. 70 (23 жовтня). — С. 71–75. — DOI:10.1016/0012-365X(88)90081-7.
• Glenn C. Rhoads. Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds // Journal of Computational and Applied Mathematics : журнал. — 2005. — Т. 174, вип. 2 (23 жовтня). — С. 329–353. — DOI:10.1016/j.cam.2004.05.002.