Теорія множин Цермело — Френкеля

Теорія множин Цермело — Френкеля (позначається ZF) — найпоширеніша аксіоматика теорії множин, і, через це, найпоширеніша основа математики.

ZFC — теорія множин Цермело — Френкеля з аксіомою вибору (AC).

ZFC містить єдине примітивне онтологічне поняття — множина, та єдине онтологічне припущення, що всі об'єкти в досліджуваному просторі (наприклад, всі математичні об'єкти) є множинами.

Вводиться єдине бінарне відношення — приналежність до множини; позначає що множина ${\displaystyle ~a}$ є елементом множини ${\displaystyle ~b}$, та записується як ${\displaystyle a\in b}$.

ZFC є теорією першого порядку; в ZFC містяться аксіоми, в яких використовується логіка першого порядку. Ці аксіоми описують: порівняння, існування, побудову та впорядкування множин.

Аксіоматична теорія множин — напрям у математичній логіці, присвячений вивченню фрагментів змістовної теорії множин методами математичної логіки. З цією метою фрагменти теорії множин подають у вигляді аксіоматичної теорії. В основі сучасної теорії множин лежить система аксіом, які приймають без доведення і з яких виводять усі теореми теорії множин. Передумовами створення такої теорії стало відкриття деяких парадоксів (антиномій, суперечностей) так званої «наївної» теорії множин. Серед таких парадоксів найбільш відомими є парадокси Рассела^[1] та Кантора.

Першою аксіоматикою такого роду була система Z Цермело (E. Zermelo, 1908). Однак у цій системі неможливо було природним чином формалізувати деякі розділи математики, і А.Френкель (A. Frenkel, 1922) запропонував доповнити систему Z новим принципом, який назвав аксіомою підстановки. Отриману систему називають системою аксіом Цермело — Френкеля і позначають ZF.

Дві множини рівні тоді й тільки тоді, коли вони мають одні й ті ж елементи.^[2]

${\displaystyle \forall A,\forall B:\;A=B\iff (\forall C:C\in A\iff C\in B)}$

Існує така множина A, що включає в себе пусту множину {} та для будь-якого належного їй елемента B включає також і множину, сформовану як об'єднання B та її синґлетону {B}.^[3]

${\displaystyle \exists A:\varnothing \in A\land (\forall B:B\in A\Rightarrow B\cup \{B\}\in A)}$

Існує множина без елементів.^[2]

${\displaystyle \exists A:\forall B\ \lnot (B\in A)}$

Таку множину зазвичай позначають як ∅ або {} та називають порожньою множиною.

Для будь-яких множин A та B існує множина C така, що A та B є її єдиними елементами. Множина C позначається {A, B} і називається невпорядкованою парою A та B.^[2]

${\displaystyle \forall A,\forall B,\exists C,\forall D:D\in C\iff (D=A\lor D=B)}$

Тобто, якщо A = B, то існує множина C така, що вона складається з одного елемента {A, A} = {A} (який має назву синглетона).

Для будь-якої множини А існує множина B, елементами якої є ті й тільки ті елементи що є підмножинами A.^[3]

${\displaystyle \forall A,\exists B,\forall C:C\in B\iff (\forall D:D\in C\Rightarrow D\in A).}$

Якщо ввести відношення підмножини ${\displaystyle \subseteq }$, то формулу можна спростити:

${\displaystyle \forall A,\exists B,\forall C:C\in B\iff C\subseteq A.}$

Множину B називають булеаном множини A та позначають ${\displaystyle {{\mathcal {P}}(A)}}$.

Для двох множин існує третя, яка включає в себе всі елементи обох, і тільки їх.^[3]

${\displaystyle \forall A,\exists B,\forall C:C\in B\iff (\exists D:C\in D\land D\in A)}$

З аксіоми прямо випливає, що об'єднання множин також є множиною. Множина B називається об'єднанням A, і позначається ∪A.

Для будь-якої множини А і властивості P існує множина B, елементами якої є ті й тільки ті елементи множини А, які мають властивість P.^[4]

${\displaystyle \forall A,\exists B,\forall C:C\in B\iff C\in A\land P(C)}$

Для кожної такої властивості P (предиката, що не використовує символ B), існує окрема аксіома виділення. Тому комплект таких аксіом називають схемою.

Нехай А - множина, і P(x,y) - предикат. Тоді якщо для кожного x існує єдиний y, такий що P(x,y) істинний, тоді існує множина всіх y, для яких знайдеться такий x ∈ A, що P(x,y) істинний. ^[5]

${\displaystyle (\forall x,\exists !\,y:P(x,y))\rightarrow \forall A,\exists B,\forall y:y\in B\iff \exists x\in A:P(x,y)}$

В будь-якій непорожній множині А є елемент B, що перетин А та B є порожньою множиною.^[3]

${\displaystyle \forall A(\exists B(B\in A)\rightarrow \exists B(B\in A\land \lnot \exists C(C\in A\land C\in B))).}$

Якщо ввести операцію перетину множин ${\displaystyle \cap \!}$, то формулу можна спростити:

${\displaystyle \forall A(A\neq \varnothing \rightarrow \exists B(B\in A\wedge B\cap A=\varnothing ))}$

Для довільного сімейства непорожніх множин, що не перетинаються, існує множина, яка має рівно один спільний елемент з кожною множиною даного сімейства, навіть якщо множин у сімействі нескінченно багато і невизначено правило вибору елемента з кожної множини.^[6]

• Аксіома порожньої множини явним чи неявним чином присутня у всіх аксіоматичних теоріях множин. В ZF не є виокремленою, а включається в аксіому нескінченності.
• Аксіомна схема виділення не входить в ZF, оскільки виводиться із пізніше введеної аксіомної схеми підстановки та аксіоми порожньої множини.
• Аксіома пари виводиться із аксіоми підстановки, аксіоми порожньої множини та аксіоми булеана.

• Теорія множин
• Теорія множин фон Неймана — Бернайса — Геделя
• Z-нотація

• Андрійчук В.І., Комарницький М.Я., Іщук Ю.Б. (2003). Вступ до дискретної математики. Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. І.Франка. с. 254.
• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)