Аксіома пари

Аксіомою [існування невпорядкованої] пари називається наступне висловлення теорії множин :

${\displaystyle ~\forall a_{1}\;\forall a_{2}\;\exists c\;\forall b\;(b\in c\;\iff \ b=a_{1}\;\lor \;b=a_{2})}$

Аксіому пари можна сформулювати наступним чином: «Із двох довільних [однакових чи різних] множин можна утворити [щонайменше одну] невпорядковану пару, тобто таку множину ${\displaystyle ~c}$, кожний елемент якої ${\displaystyle ~b}$ ідентичний даній множині ${\displaystyle ~a_{1}}$ або даній множині ${\displaystyle ~a_{2}}$».

${\displaystyle ~\forall a_{1}\;\forall a_{2}\;\exists c\;(c=\{b:\;b=a_{1}\;\lor \;b=a_{2}\}\ )}$

${\displaystyle ~\forall a_{1}\;\forall a_{2}\;\exists c\;\forall b\;(b\notin c\;\iff \;b\neq a_{1}\;\land \;b\neq a_{2})}$

${\displaystyle ~\forall a_{1}\;\forall a_{2}\;\exists c\;(a_{1}\in c\;\land \;a_{2}\in c\quad \land \quad \forall b\;(b\neq a_{1}\;\land \;b\neq a_{2}\to b\notin c)\ )}$

1. Аксіому пари можна вивести зі схеми перетворення

${\displaystyle ~\forall a\;\exists d\;\forall c\;(c\in d\;\iff \;\exists b\;(b\in a\;\land \;c=\mathrm {f} (b)\ ))}$, якщо припустити ${\displaystyle ~a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))}$ і вибрати функцію ${\displaystyle ~\mathrm {f} }$ такою, що ${\displaystyle ~c=\mathrm {f} (b)\;\iff \;(b=\varnothing \to c=a_{1})\land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})}$.

2. Керуючись аксіомою об'ємності можна довести єдиність [невпорядкованої] пари. Інакше кажучи, можна довести, що 'аксіома пари' рівносильна висловлюванню

${\displaystyle ~\forall a_{1}\;\forall a_{2}\;\exists !c\;\forall b\;(b\in c\iff b=a_{1}\lor b=a_{2})}$, що є ${\displaystyle ~\forall a_{1}\;\forall a_{2}\;\exists c\;\forall c'\;(\forall b\;(b\in c'\iff b=a_{1}\lor b=a_{2})\;\iff c=c')}$

Останнє висловлювання дозволяє стверджувати наступне: «З будь-яких двох [однакових або різних] множин можна утворити тільки одну "невпорядковану пару", тобто таку множину ${\displaystyle ~c}$, кожний элемент ${\displaystyle ~b}$ якої ідентичний даній множині ${\displaystyle ~a_{1}}$ чи даній множині ${\displaystyle ~a_{2}}$.»

3. Із аксіоми пари можна вивести теорему про існування одноелементної множини:

${\displaystyle ~\forall a\;\exists c\;\forall b\;(b\in c\iff b=a)}$

• Аксіоматика теорії множин
• Теорія множин Цермело — Френкеля

• Андрійчук В.І., Комарницький М.Я., Іщук Ю.Б. (2003). Вступ до дискретної математики. Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. І.Франка. с. 254.
• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)