LC-коло

LC-контур, також відомий як резонансний контур, коливальний контур або контур налаштування, — це електричне коло, що складається зі з'єднаних між собою котушки індуктивності, позначеної літерою L, та конденсатора, позначеного літерою C. Контур може діяти як електричний резонатор, електричний аналог камертона, накопичуючи енергію, яка коливається на резонансній частоті контуру.

LC-контури використовуються або для генерування сигналів на певній частоті, або для виділення сигналу на певній частоті зі складнішого сигналу; ця функція називається смуговим фільтром. Вони є ключовими компонентами багатьох електронних пристроїв, зокрема радіообладнання, і використовуються в таких колах, як генератори, фільтри, тюнери та частотні змішувачі.

LC-контур є ідеалізованою моделлю, оскільки припускається, що розсіювання енергії через опір відсутнє. Будь-яка практична реалізація LC-контуру завжди міститиме втрати, зумовлені малим, але ненульовим опором усередині компонентів і з'єднувальних проводів. Призначення LC-контуру зазвичай полягає в тому, щоб коливатися з мінімальним затуханням, тому опір роблять якомога меншим. Хоча жодне практичне коло не є вільним від втрат, моделлю кола, яка враховує опір, є RLC-коло.

Двоелементний LC-контур є найпростішим типом LC-мережі. Його також називають LC-контуром другого порядкуПомилка цитування: Відсутній тег </ref> за наявності тегу <ref>^[1], щоб відрізнити від LC-мереж із більшою кількістю реактивних елементів (котушок та конденсаторів), що можуть мати більше однієї резонансної частоти.

Порядок мережі — це порядок раціональної функції, що описує мережу в змінній комплексної частоти s. Загалом порядок дорівнює кількості елементів L і C у контурі та в будь-якому разі не може перевищувати цю кількість.

LC-контур, що коливається на своїй власній резонансній частоті, може накопичувати електричну енергію. Див. анімацію. Конденсатор накопичує енергію в електричному полі (E) між своїми обкладками, залежно від напруги на ньому, а котушка індуктивності накопичує енергію у своєму магнітному полі (B), залежно від струму, що проходить через неї.

Якщо котушку індуктивності під'єднати до зарядженого конденсатора, напруга на конденсаторі спричинить струм через котушку індуктивності, створюючи навколо неї магнітне поле. Напруга на конденсаторі падає до нуля, коли заряд вичерпується потоком струму. У цей момент енергія, накопичена в магнітному полі котушки, індукує напругу на котушці, оскільки котушки індуктивності протидіють змінам струму. Ця індукована напруга спричиняє початок струму, який знову заряджає конденсатор напругою протилежної полярності порівняно з його початковим зарядом. Відповідно до закону електромагнітної індукції Фарадея, ЕРС, яка створює струм, спричинена зменшенням магнітного поля, тому енергія, необхідна для заряджання конденсатора, вилучається з магнітного поля. Коли магнітне поле повністю розсіється, струм припиниться, а заряд знову буде накопичений у конденсаторі, з полярністю, протилежною попередній. Потім цикл почнеться знову, причому струм проходитиме через котушку індуктивності у протилежному напрямку.

Заряд перетікає вперед і назад між обкладками конденсатора через котушку індуктивності. Енергія коливається вперед і назад між конденсатором і котушкою індуктивності, доки (якщо вона не поповнюється із зовнішнього кола) внутрішній опір не змусить коливання згаснути. Робота коливального контуру, відома математично як гармонічний осцилятор, подібна до маятника, що коливається вперед і назад, або води, що хлюпається вперед і назад у резервуарі; з цієї причини контур також називають коливальним контуром.^[2] Власна частота (тобто частота, з якою він коливатиметься, коли ізольований від будь-якої іншої системи, як описано вище) визначається значеннями ємності та індуктивності. У більшості застосувань коливальний контур є частиною більшого кола, яке подає до нього змінний струм, підтримуючи безперервні коливання. Якщо частота прикладеного струму дорівнює власній резонансній частоті контуру (власна частота ${\displaystyle f_{0},}$ нижче), виникне резонанс, і невеликий струм збудження може спричинити коливальні напруги та струми великої амплітуди. У типових коливальних контурах в електронному обладнанні коливання є дуже швидкими — від тисяч до мільярдів разів на секунду.^{[джерело?]}

Резонанс виникає, коли LC-контур збуджується зовнішнім джерелом на кутовій частоті ω₀, на якій індуктивний і ємнісний реактивні опори рівні за модулем. Частота, на якій виконується ця рівність для конкретного контуру, називається резонансною частотою. Резонансна частота LC-контуру дорівнює

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$

де L — індуктивність у генрі, а C — ємність у фарадах. Кутова частота ω₀ вимірюється в радіанах за секунду.

Еквівалентна частота в одиницях герца дорівнює

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.}$

Згідно із першим законом Кірхгофа, струм через конденсатор дорівнює струму через котушку індуктивності:

${\displaystyle I_{C}=I_{L}.}$

Згідно із другим законом Кірхгофа, напруга V_C на конденсаторі плюс напруга V_L на котушці індуктивності повинні дорівнювати нулю:

${\displaystyle V_{C}+V_{L}=0.}$

Із співвідношень, що визначають властивості елементів кола, також відомо, що

${\displaystyle V_{L}(t)=L{\frac {\mathrm {d} I_{L}}{\mathrm {d} t}},\qquad I_{C}(t)=C{\frac {\mathrm {d} V_{C}}{\mathrm {d} t}}.}$

Перегрупування та підстановка дають диференціальне рівняння другого порядку

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0,}$

де параметр ω₀, резонансна кутова частота, визначається як

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.}$

Відповідне перетворення Лапласа має вигляд

${\displaystyle s^{2}+\omega _{0}^{2}=0,}$

отже

${\displaystyle s=\pm j\omega _{0},}$

де j — уявна одиниця.

Отже, повний розв'язок диференціального рівняння має вигляд

${\displaystyle I(t)=Ae^{+j\omega _{0}t}+Be^{-j\omega _{0}t}}$

і для A та B можна знайти розв'язок, врахувавши початкові умови. Оскільки експонента є комплексною, розв'язок — синусоїдальний змінний струм. Оскільки електричний струм I є фізичною величиною, він повинен мати дійсне значення. Можна показати, що сталі A та B повинні бути комплексно спряженими:

${\displaystyle A=B^{*}.}$

Отже

${\displaystyle A={\frac {I_{0}}{2}}e^{+j\phi }\qquad B={\frac {I_{0}}{2}}e^{-j\phi }.}$

Далі можна використати формулу Ейлера, щоб отримати дійсну синусоїду з амплітудою I₀, кутовою частотою ω₀ = 1/√LC та фазовим кутом ${\displaystyle \phi }$.

Таким чином, отриманий розв'язок має вигляд

${\displaystyle I(t)=I_{0}\cos \left(\omega _{0}t+\phi \right),}$

${\displaystyle V_{L}(t)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \left(\omega _{0}t+\phi \right).}$

Початковими умовами, які задовольняють цей результат, є

${\displaystyle I(0)=I_{0}\cos \phi ,}$

${\displaystyle V_{L}(0)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{t=0}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \phi .}$

...

...