Число Маркова

Число Маркова — додатне ціле число ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ або ${\displaystyle z}$, частина розв'язку діофантового рівняння Маркова

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz,\,}$

яке вивчав Андрій Марков (Andrey Markoff 1879, 1880).

Перші кілька чисел Маркова

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, … послідовність A002559 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

з'являються як координати марковських трійок: (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169, 985), (13, 34, 1325), …

Існує нескінченно багато чисел Маркова та марковських трійок.

Існує два простих способи отримати нову марковську трійку зі старої (x, y, z). По-перше, можна переставити 3 числа x, y, z, зокрема, можна нормалізувати трійки так, щоб x ≤ у ≤ z. По-друге, якщо (x, у, z) є марковською трійкою, то (x, y, 3xy − z). Подвійне застосування цієї операції повертає ту саму потрійну операцію, з якої вона розпочалася. Об'єднання кожної нормалізованої марковської трійки з 1, 2 або 3 нормалізованими трійками, які можна отримати з цієї, дає графік, що починається з (1,1,1), як на діаграмі. Цей граф є зв'язним; іншими словами, кожну марковську трійку можна з'єднати з (1,1,1) послідовністю цих операцій. Якщо почати, наприклад, з (1, 5, 13) то отримаємо трьох її сусідів (5, 13, 194), (1, 13, 34) та (1, 2, 5) у дереві Маркова, якщо z встановлено на 1, 5 та 13 відповідно. Наприклад, якщо почати з (1, 1, 2) та поміняти місцями y та z перед кожною ітерацією перетворення, то в результаті буде виведено марковські трійки з числами Фібоначчі. Починаючи з тієї ж трійки та обмінюючи x та z перед кожною ітерацією, отримуємо трійки з числами Пелля.

Усі числа Маркова в областях, суміжних із областю 2, є числами Пелля з непарними індексами (або числами n такими, що 2n² − 1 — квадрат,  A001653), а всі числа Маркова в областях, суміжних з областю 1, є числами Фібоначчі з непарними індексами ( A001519). Таким чином, існує нескінченно багато марковських трійок виду

${\displaystyle (1,F_{2n-1},F_{2n+1}),\,}$

де ${\displaystyle F_{k}}$ — k-те число Фібоначчі. Аналогічно, існує нескінченно багато марковських трійок виду

${\displaystyle (2,P_{2n-1},P_{2n+1}),\,}$

де ${\displaystyle P_{k}}$ — k-те число Пелля.^[1]

Окрім двох найменших сингулярних трійок (1, 1, 1) та (1, 1, 2), кожна марковська трійка складається з трьох різних цілих чисел.

Гіпотеза єдиності, як зазначив 1913 року Фробеніус,^[2] стверджує, що для заданого числа Маркова c існує рівно один нормалізований розв'язок, найбільшим елементом якого є c: було заявлено про доведення цієї гіпотези, але жодне з них не є правильним. Мартін Айґнер розглядає кілька слабших варіантів гіпотези єдиності. 2020 року Рабідо та Шиффлер довели його гіпотезу про фіксований чисельник,^[3] тоді як гіпотезу про фіксований знаменник та гіпотезу про фіксовану суму довели 2023 рокуі Лі, Лі, Рабідо та Шиффлер.^[4]

Жоден із простих дільників числа Маркова не дорівнює 3 за модулем 4, що означає, що непарне число Маркова має вигляд ${\displaystyle (4k+1)}$. Крім того, якщо ${\displaystyle m}$ — число Маркова, то жоден із простих дільників ${\displaystyle 9m^{2}-4}$ не дорівнює 3 за модулем 4. Парне число Маркова на 2 більше, ніж число, кратне 32.^[5]

У своїй статті 1982 року Дон Заґір висунув гіпотезу, що n-те число Маркова асимптотично задається формулою

${\displaystyle m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n+o(1)}}},\quad {\text{де }}C=2.3523414972\ldots \,.}$

Похибку ${\displaystyle o(1)=(\log(3m_{n})/C)^{2}-n}$ зображено нижче.

Більш того, він зазначив, що ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz+4/9}$, наближення початкового діофантового рівняння, еквівалентне ${\displaystyle f(x)+f(y)=f(z)}$, де ${\displaystyle f(t)=\operatorname {arch} (3t/2)}$.^[6] Гіпотезу довели 1995 року Грег Макшейн та Ігор Рівін, скориставшись методами гіперболічної геометрії.^[7]

За числом Маркова можна розрахувати n-те число Лагранжа за формулою

${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.\,}$

Числа Маркова — це суми (неунікальних) пар квадратів.

Марков (Markoff 1879, 1880) показав, що якщо

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

є невизначеною бінарною квадратичною формою з дійсними коефіцієнтами та дискримінантом ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$, то є цілі числа x, y, для яких f набуває ненульового значення, модуль якого не перевищує

якщо f не є марковською формою: сталою, помноженою на форму

${\displaystyle px^{2}+(3p-2a)xy+(b-3a)y^{2}}$,

де

${\displaystyle {\begin{cases}0<a<p/2,\\aq\equiv \pm r{\pmod {p}},\\bp-a^{2}=1,\end{cases}}}$

а (p, q, r) — марковська трійка.

Нехай ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ — функція сліду над матрицями. Якщо ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$ належать до SL2₂(${\displaystyle \mathbb {C} }$), то

${\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)+\operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})+2=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}$

так що якщо ${\textstyle \operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})=-2}$, то

${\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}$

Зокрема, якщо ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$ також мають цілі елементи, то ${\displaystyle \operatorname {tr} (X)/3}$, ${\displaystyle \operatorname {tr} (Y)/3}$ та ${\displaystyle \operatorname {tr} (XY)/3}$ є марковською трійкою. Якщо ${\displaystyle X\cdot Y\cdot Z=I}$ (${\displaystyle I}$ — одинична матриця), то ${\displaystyle \operatorname {tr} (X^{t}Y)=\operatorname {tr} (Z)}$, тому, симетричніше, якщо ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ і ${\displaystyle Z}$ належать до SL2₂(${\displaystyle \mathbb {Z} }$), ${\displaystyle X\cdot Y\cdot Z=I}$, а комутатор будь-яких двох із них має слід ${\displaystyle -2}$, то їхні сліди, поділені на ${\displaystyle 3}$, утворюють трійку Маркова.

• Aigner, Martin (29 липня 2013). Markov's Theorem and 100 Years of the Uniqueness Conjecture: A Mathematical Journey from Irrational Numbers to Perfect Matchings. Springer. ISBN 978-3-319-00887-5. MR 3098784.
• Cassels, J.W.S. (1957). An Introduction to Diophantine Approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Т. 45. Cambridge University Press. Zbl 0077.04801.
• Cusick, Thomas; Flahive, Mary (1989). The Markoff and Lagrange Spectra. Math. Surveys and Monographs. Т. 30. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1531-8. Zbl 0685.10023.
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. с. 263–265. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001.
• Malyshev, A.V. (2001), Markov spectrum problem, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Markoff, A. Sur les formes quadratiques binaires indéfinies. Mathematische Annalen. ISSN 0025-5831.

Markoff, A. (1879). First memoir. Mathematische Annalen. 15 (3—4): 381—406. doi:10.1007/BF02086269.

Markoff, A. (1880). Second memoir. Mathematische Annalen. 17 (3): 379—399. doi:10.1007/BF01446234.