Число Пелля

Число Пелля
Названо на честь	Джон Пелл
Формула	${\displaystyle P_n=\frac{(1+\sqrt{2}{)}^n-(1-\sqrt{2}{)}^n}{2\sqrt{2}}=\{\begin{array}{cc}0& n=0\\ 1& n=1\\ 2P_{n-1}+P_{n-2}& n>1\end{array}}$

Число Пелля — ціле число, що є знаменником у нескінченній послідовності ланцюгових дробів для квадратного кореня з двох. Ця послідовність наближень починається дробами: ${\displaystyle 1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,\dots }$, тобто перші числа Пелля — 1, 2, 5, 12 і 29. Чисельники тієї самої послідовності наближень є половинами супутних чисел Пелля або числами Пелля — Люка — нескінченої послідовності, що починається з 2, 6, 14, 34 і 82.

Обидві послідовності — числа Пелля і супутні числа Пелля — можуть бути обчислені за допомогою рекурентної формули, схожої на формули для чисел Фібоначчі, і обидві послідовності чисел зростають експоненційно, пропорційно степеню срібного перерізу ${\displaystyle 1+\sqrt{2}}$. Крім використання в ланцюговому дробі наближень до квадратного кореня з двох, числа Пелля можна застосувати для пошуку квадратних трикутних чисел і для вирішення деяких комбінаторних задач перерахування.^[1]

Послідовність чисел Пелля відома з давніх часів, хоча Леонард Ейлер помилково приписав їх відкриття Джону Пеллю (як і рівняння Пелля). Числа Пелля — Люка названі на честь Едуара Люка, який вивчав ці послідовності. І числа Пелля, і супутні числа Пелля є окремими випадками послідовностей Люка.

Числа Пелля задаються лінійним рекурентним співвідношенням:

${\displaystyle P_n=\{\begin{array}{c}0,n=0;\\ 1,n=1\\ 2P_{n-1}+P_{n-2},n>1\end{array}}$

і є окремим випадком послідовності Люка.

Перші кілька чисел Пелля

11, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, … (послідовність A000129 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Числа Пелля можна виразити формулою

${\displaystyle P_n=\frac{(1+\sqrt{2}{)}^n-(1-\sqrt{2}{)}^n}{2\sqrt{2}}.}$

Для великих значень n член ${\displaystyle (1+\sqrt{2}{)}^n}$ домінує в цьому виразі, так що числа Пелля приблизно пропорційні степеням срібного перерізу ${\displaystyle (1+\sqrt{2})}$, так само як швидкість зростання чисел Фібоначчі дорівнює степеням золотого перерізу.

Можливо і третє визначення — у вигляді матричної формули

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}{P}_{n+1}& P_n\\ P_n& P_{n-1}\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^n.}$

Багато тотожностей можуть бути доведені з цих визначень, наприклад тотожність, аналогічне тотожності Кассіні для чисел Фібоначчі,

${\displaystyle P_{n+1}{P}_{n-1}-P_n^2=(-1{)}^n,}$

як негайний наслідок матричної формули (підставляючи визначники матриць ліворуч і праворуч).^[2]

Числа Пелля виникли історично з раціональних наближень до квадратного кореня з двох. Якщо два великих цілих x і y дають рішення рівняння Пелля

${\displaystyle {\displaystyle x^2-2y^2=\pm 1,}}$

то їх відношення ${\displaystyle \frac{x}{y}}$ дає близьке наближення до ${\displaystyle \sqrt{2}}$. Послідовність наближень цього виду

${\displaystyle 1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\dots }$

де знаменник кожного дробу — число Пелля, а чисельник дорівнює сумі числа Пелля і його попередника в послідовності. Таким чином, наближення мають вигляд ${\displaystyle \frac{P_{n-1}+P_n}{P_n}}$.

Наближення

${\displaystyle \sqrt{2}\approx \frac{577}{408}}$

цього типу було відомо математикам Індії в третьому-четвертому столітті до нашої ери.^[3] Грецькі математики п'ятого століття до нашої ери також знали про це наближення.^[4] Платон посилається на чисельники як раціональні діаметри.^[5] У другому столітті нашої ери Теон Смирнський використовував терміни сторона і діаметр для опису знаменника і чисельника цієї послідовності.^[6]

Ці наближення можуть бути отримані з ланцюгового дробу ${\displaystyle \sqrt{2}}$:

${\displaystyle \sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots }}}}}.}$

Скінчена частина ланцюгового дробу дає апроксимацію у вигляді чисел Пелля. Наприклад,

${\displaystyle \frac{577}{408}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}}}}.}$

Як писав Кнут (1994), факт апроксимації числами Пелля ${\displaystyle \sqrt{2}}$ дозволяє використовувати їх для раціонального наближення до правильного восьмикутника з координатами вершин ${\displaystyle (\pm P_i,\pm P_{i+1})}$ и ${\displaystyle (\pm P_{i+1},\pm P_i)}$. Усі вершини цього восьмикутника однаково віддалені від центру і формують майже однакові кути. Водночас точки ${\displaystyle (\pm (P_i+P_{i-1}),0)}$, ${\displaystyle (0,\pm (P_i+P_{i-1}))}$ и ${\displaystyle (\pm P_i,\pm P_i)}$ формують восьмикутник, у якого вершини майже однаково віддалені від центру та мають однакові кути.

Простим числом Пелля називається число Пелля, що є також простим. Кілька перших простих чисел Пелля

2, 5, 29, 5741, … (послідовність A086383 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Як і у випадку з числами Фібоначчі, число Пелля ${\displaystyle P_n}$ може бути простим тільки якщо n просте.

Є всього три числа Пелля, які є квадратами, кубами та іншими вищими степенями, — це 0, 1, і 169 = 13². ^[7]

Попри те, що серед чисел Пелля настільки мало квадратів та інших степенів, вони мають близький зв'язок із квадратними трикутними числами.^[8] Ці числа виникають із такої тотожності:

${\displaystyle ((P_{k-1}+P_k)\cdot P_k{)}^2=\frac{(P_{k-1}+P_k{)}^2\cdot ((P_{k-1}+P_k{)}^2-(-1{)}^k)}{2}.}$

Ліва частина цієї тотожності дає квадратне число, у той час як права частина дає трикутне число, так що в результаті отримаємо квадратне трикутне число.

Сантана (Santana) і Діац-Барреро (Diaz-Barrero) (2006) довели іншу тотожність, що пов'язує числа Пелля з квадратами. Вони показали, що сума чисел Пелля до ${\displaystyle P_{4n+1}}$ завжди є квадратом:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}{P}_i={\left(\sum _{r=0}^n{2}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{2r})\right)}^2=(P_{2n}+P_{2n+1}{)}^2.}$

Наприклад, сума чисел Пелля до ${\displaystyle P_5}$, ${\displaystyle 0+1+2+5+12+29=49}$, є квадратом числа ${\displaystyle P_2+P_3=2+5=7}$.

Числа ${\displaystyle P_{2n}+P_{2n+1}}$, які утворюють квадратні корені таких сум,

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … (послідовність A002315 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS), відомі як прості числа Ньюмена—Шенкса—Вільямса.

Якщо прямокутний трикутник має сторони a, b, c (по теоремі Піфагора a²+b²=c²), то (a,b,c) відомі як піфагорові трійки. Мартін (Martin) (1875) писав, що числа Пелля можна застосувати для формування піфагорових трійок, в яких a і b відрізняються на одиницю, що відповідає майже рівнобедреному прямокутному трикутнику. Кожна така трійка має вигляд

${\displaystyle (2P_n{P}_{n+1},P_{n+1}^2-P_n^2,P_{n+1}^2+P_n^2=P_{2n+1}).}$

Послідовність піфагорових трійок, отримана таким способом: (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….

Супутні числа Пелля або числа Пелля — Люка визначаються лінійним рекурентним співвідношенням:

${\displaystyle Q_n=\{\begin{array}{c}2,n=0\\ 2,n=1\\ 2Q_{n-1}+Q_{n-2},n>1\end{array}}$

Тобто, перші два числа в послідовності рівні 2, а всі інші формуються як сума подвоєного попереднього числа Пелля — Люка та попереднього до нього, або, що еквівалентно, як сума наступного та попереднього чисел Пелля. Так, супутнім для 82 є число 29, і 82 = 2 · 34 + 14 = 70 + 12.

Супутні числа Пелля утворюють послідовність:

2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, … (послідовність A002203 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Супутні числа Пелля можна подати формулою:

${\displaystyle Q_n=(1+\sqrt{2}{)}^n+(1-\sqrt{2}{)}^n.}$

Усі ці числа парні, кожне з них є подвоєним чисельником у наближенні раціональними числами до ${\displaystyle \sqrt{2}}$.

У таблиці наведено декілька перших степенів срібного перерізу ${\displaystyle \delta ={\delta }_S=1+\sqrt{2}}$ і пов'язаного з ним ${\displaystyle \overline{\delta }=1-\sqrt{2}}$.

Коефіцієнти являють собою половини супутніх чисел Пелля ${\displaystyle H_n}$ і числа Пелля ${\displaystyle P_n}$, є невід'ємними розв'язками рівняння ${\displaystyle H^2-2P^2=\pm 1}$.

Квадратне трикутне число — це число ${\displaystyle N=\frac{t(t+1)}{2}=s^2}$, яке є як ${\displaystyle t}$ трикутним числом так і ${\displaystyle s}$ квадратним. Майже рівнобедрені піфагорові трійки є цілими розв'язками ${\displaystyle a^2+b^2=c^2}$, де ${\displaystyle a+1=b}$.

Наступна таблиця показує розкладання непарних ${\displaystyle H_n}$ на дві майже однакові половинки, що дає квадратне трикутне число, коли n парне, і майже рівнобедрену піфагорову трійку, коли n непарне.

Половини супутніх чисел Пелля ${\displaystyle H_n}$ і числа Пелля ${\displaystyle P_n}$ можна отримати декількома еквівалентними шляхами:

Піднесення до степеня:

${\displaystyle (1+\sqrt{2}{)}^n=H_n+P_n\sqrt{2}}$

${\displaystyle (1-\sqrt{2}{)}^n=H_n-P_n\sqrt{2}.}$

Звідки випливає:

${\displaystyle H_n=\frac{(1+\sqrt{2}{)}^n+(1-\sqrt{2}{)}^n}{2}.}$

і

${\displaystyle P_n\sqrt{2}=\frac{(1+\sqrt{2}{)}^n-(1-\sqrt{2}{)}^n}{2}.}$

Парні рекурентні відношення:

${\displaystyle H_n=\{\begin{array}{c}1,n=0\\ H_{n-1}+2P_{n-1},n>0\end{array}}$

${\displaystyle P_n=\{\begin{array}{c}0,n=0;\\ H_{n-1}+P_{n-1},n>0\end{array}}$

або, в матричному вигляді:

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{H}_n\\ P_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{H}_{n-1}\\ P_{n-1}\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)}^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right).}$

Таким чином

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}{H}_n& 2P_n\\ P_n& H_n\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)}^n.}$

Різниця ${\displaystyle H_n}$ і ${\displaystyle P_n\sqrt{2}}$ дорівнює ${\displaystyle (1-\sqrt{2}{)}^n\approx (-0.41421{)}^n}$, що швидко наближається до нуля.

Таким чином ${\displaystyle (1+\sqrt{2}{)}^n=H_n+P_n\sqrt{2}}$ дуже близьке до ${\displaystyle 2H_n}$.

Із цього спостереження випливає, що відношення цілих ${\displaystyle \frac{H_n}{P_n}}$ швидко наближається до ${\displaystyle \sqrt{2}}$ у той час як ${\displaystyle \frac{H_n}{H_{n-1}}}$ и ${\displaystyle \frac{P_n}{P_{n-1}}}$ швидко наближається до ${\displaystyle 1+\sqrt{2}}$.

Оскільки ${\displaystyle \sqrt{2}}$ є ірраціональним, неможливо отримати ${\displaystyle \frac{H}{P}=2}$, тобто ${\displaystyle \frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2}{P^2}}$. Найкраще, що ми можемо отримати, це або ${\displaystyle \frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2-1}{P^2}}$ або ${\displaystyle \frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2+1}{P^2}}$.

Невід'ємними рішеннями ${\displaystyle H^2-2P^2=1}$ є пари ${\displaystyle H_n,P_n}$ з парним n, і рішеннями ${\displaystyle H^2-2P^2=-1}$ є пари ${\displaystyle H_n,P_n}$ з n непарним.

Щоб зрозуміти це, зауважимо

${\displaystyle H_{n+1}^2-2P_{n+1}^2=(H_n+2P_n{)}^2-2(H_n+P_n{)}^2=-(H_n^2-2P_n^2)}$

так що, починаючи з ${\displaystyle H_0^2-2P_0^2=1}$ знак чергується (${\displaystyle 1,-1}$). Зауважимо тепер, що кожне позитивне рішення можна отримати з рішення з меншим індексом завдяки рівності ${\displaystyle (2P-H{)}^2-2(H-P{)}^2=-(H^2-2P^2)}$.

Необхідну рівність ${\displaystyle \frac{t(t+1)}{2}=s^2}$ еквівалентно ${\displaystyle 4t^2+4t+1=8s^2+1}$, що перетворюється в ${\displaystyle H^2=2P^2+1}$ при підстановці ${\displaystyle H=2t+1}$ і ${\displaystyle P=2s}$. Звідси n-м рішенням буде ${\displaystyle t_n=\frac{H_{2n}-1}{2}}$ і ${\displaystyle s_n=\frac{P_{2n}}{2}.}$

Зауважимо, що ${\displaystyle t}$ і ${\displaystyle t+1}$ взаємно прості, так що ${\displaystyle \frac{t(t+1)}{2}=s^2}$ можливо тільки тоді, коли вони є сусідніми цілими, одне — квадрат ${\displaystyle H^2}$ й інше — подвоєний квадрат ${\displaystyle 2P^2}$.

Оскільки ми знаємо всі рішення рівняння, ми отримуємо

${\displaystyle t_n=\{\begin{array}{cc}2P_n^2& n\equiv 0(\mathrm{mod}2)\\ H_n^2& n\equiv 1(\mathrm{mod}2)\end{array}}$

і ${\displaystyle s_n=H_n{P}_n}$

Рівність ${\displaystyle c^2=a^2+(a+1{)}^2=2a^2+2a+1}$ вірно тільки при ${\displaystyle 2c^2=4a^2+4a+2}$, що перетворюється в ${\displaystyle 2P^2=H^2+1}$ при підстановці ${\displaystyle H=2a+1\text{ and }P=c}$. Тоді n-м рішенням є ${\displaystyle a_n=\frac{H_{2n+1}-1}{2}}$ і ${\displaystyle c_n=P_{2n+1}.}$

Таблиця вище показує, що з точністю до порядку ${\displaystyle a_n}$ і ${\displaystyle b_n=a_n+1}$ дорівнює ${\displaystyle H_n{H}_{n+1}}$ і ${\displaystyle 2P_n{P}_{n+1}}$ , в той час як ${\displaystyle c_n=H_{n+1}{P}_n+P_{n+1}{H}_n.}$

• Рівняння Пелля