Число Люка

Числа Люка або ряд Люка — цілочисельна послідовність, яка названа на честь математика Франсуа Едуара Анатоля Люка (1842–1891), який вивчав як цю послідовність, так і тісно пов’язані числа Фібоначчі. Числа Люка та числа Фібоначчі утворюють доповняльні випадки послідовностей Люка.

Послідовність Люка має таке саме рекурсивне співвідношення як і послідовність Фібоначчі, де кожен доданок є сумою двох попередніх доданків, але з різними початковими значеннями.^[1] Це приводить до послідовності, де відношення послідовних доданків наближаються до золотого перерізу, і фактично самі члени є наближеннями цілих степенів золотого перерізу.^[2] Послідовність також має різноманітні взаємозв’язки з числами Фібоначчі. Наприклад, додавання будь-яких двох чисел Фібоначчі, розділених двома членами в послідовності Фібоначчі, приводить числа Люка між ними.^[3]

Кілька перших чисел Люка

${\displaystyle 2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,\dots .}$

Аналогічно до чисел Фібоначчі, кожне число Люка визначається як сума двох безпосередніх попередніх членів, утворюючи тим самим цілочисельну послідовність Фібоначчі. Перші два числа Люка — це ${\textstyle L_{0}=2}$ та ${\textstyle L_{1}=1}$ на відміну від перших двох чисел Фібоначчі ${\textstyle F_{0}=0}$ та ${\textstyle F_{1}=1}$. Незважаючи на тісний зв’язок в означенні, числа Люка та Фібоначчі мають різні властивості.

Числа Люка можуть бути визначені наступним чином:

${\displaystyle L_{n}:={\begin{cases}2&{\text{якщо }}n=0;\\1&{\text{якщо }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\text{якщо }}n>1.\end{cases}}}$

(де ${\textstyle n}$ — ${\textstyle 0}$ або натуральне число).

Послідовність перших дванадцяти чисел Люка наступна:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, ... . послідовність A000032 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Усі цілочисельні послідовності типу Фібоначчі з’яляються у зсувній формі як рядки таблиці Вітхоффа; сама послідовність Фібоначчі є першим рядком, а послідовність Люка — другим рядком. Також, як і всі цілочисельні послідовності типу Фібоначчі, відношення між двома послідовними числами Люка збігається до золотого перерізу.

Використовуючи ${\textstyle L_{n-2}=L_{n}-L_{n-1}}$, можна розширити числа Люка на від’ємні цілі числа, щоб отримати подвійно нескінченну послідовність:

..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... (значення ${\displaystyle L_{n}}$ для ${\displaystyle -5\leq {}n\leq 5}$).

Формула значень з від’ємними індексами в цій послідовності

${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.}$

Числа Люка пов’язані з числами Фібоначчі багатьма тотожностями. Серед них такі:

• ${\textstyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n}+2F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}}$,
• ${\textstyle L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}}$,
• ${\textstyle L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}}$, а отже якщо ${\textstyle n}$ наближається до ${\textstyle +\infty }$ співвідношення ${\textstyle {\frac {L_{n}}{F_{n}}}}$ наближається до ${\textstyle {\sqrt {5}}}$,
• ${\textstyle F_{2n}=L_{n}F_{n}}$,
• ${\textstyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$,
• ${\textstyle F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}}$,
• ${\textstyle L_{n+k}-(-1)^{k}L_{n-k}=5F_{n}F_{k}}$, зокрема, ${\textstyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}$.

Їх замкнена формула подана як

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n},}$

де ${\textstyle \varphi }$ це золотий перетин. Інакше, для ${\textstyle n>1}$ величина виразу ${\textstyle (-\varphi )^{-n}}$ менше ніж ${\textstyle 1/2,}$ ${\textstyle L_{n}}$ є найближчим цілим числом до ${\textstyle \varphi ^{n}}$ або, що еквівалентно, ціла частина ${\textstyle \varphi ^{n}+1/2}$ , також записується як ${\textstyle \lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor }$. Поєднуючи вищесказане з формулою Біне

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}},}$

одержуємо формулу для ${\textstyle \varphi ^{n}}$:

${\displaystyle \varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}.}$

Перший підхід до питання про подільність ${\textstyle L_{n}}$ на ціле число ${\textstyle a}$ полягає у вивченні послідовності залишків від ${\textstyle L_{n}}$ за модулем ${\textstyle a}$ : ця послідовність ${\textstyle (r_{n})}$ перевіряє (в ${\textstyle Z/aZ}$) одну і ту ж рекурентність ${\textstyle (r_{n+2}=r_{n+1}+r_{n})}$ і, отже, є періодичною з періодом не більше ${\textstyle a^{2}}$ (довжини періодів функції ${\textstyle a}$ утворюють послідовність періодів Пізано, послідовність A001175 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Точніше, дослідження цієї рекурентності та співвідношення ${\textstyle L_{n}=F_{2n}/F_{n}}$, у полі ${\textstyle Z/pZ}$ (де ${\displaystyle p}$ - просте число) призводить до результатів, подібних до тих, що були отримані для послідовності Фібоначчі^[4][5].

Ми також показуємо, що жодне число Люка не ділиться на число Фібоначчі ${\displaystyle F_{n}\geqslant 5}$ ^[4].

Якщо ${\textstyle F_{n}\geq 5}$ є числом Фібоначчі, тоді жодне число Люка не ділиться на ${\textstyle F_{n}}$.

${\textstyle L_{n}}$ відповідає ${\textstyle 1\mod n}$ якщо ${\textstyle n}$ є простим, але деякі складені значення ${\textstyle n}$ також мають цю властивість. Це псевдопрості числа Фібоначчі.

${\textstyle L_{n}-L_{n-4}}$ конгруентно ${\textstyle 0\mod 5}$.

Просте число Люка — це число Люка, яке є простим. Перші кілька простих чисел Люка

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... послідовність A005479 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Індекси цих простих чисел (наприклад, ${\textstyle L_{4}=7}$)

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... послідовність A001606 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Якщо ${\textstyle L_{n}}$ є простим, тоді ${\textstyle n}$ дорівнює ${\textstyle 0}$, є простим або степенем ${\textstyle 2}$.^[6] ${\textstyle L_{2^{m}}}$ є простим для ${\textstyle m=1,2,3}$, і ${\textstyle 4}$ і жодних інших відомих значень ${\textstyle m}$.

Нехай

${\displaystyle \Phi (x)=2+x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}}$

буде генератрисою чисел Люка. Шляхом прямого обчислення,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x)&=L_{0}+L_{1}x+\sum _{n=2}^{\infty }L_{n}x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=2}^{\infty }(L_{n-1}+L_{n-2})x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=1}^{\infty }L_{n}x^{n+1}+\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n+2}\\&=2+x+x(\Phi (x)-2)+x^{2}\Phi (x)\end{aligned}}}$

який можна перегрупувати як

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {2-x}{1-x-x^{2}}}.}$

Розкладання на прості дроби задає

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{1-\varphi x}}+{\frac {1}{1-\phi x}},}$

де ${\textstyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — золотий перетин і ${\textstyle \phi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$ є його спряженим.

Так само, многочлени Фібоначчівиводяться з чисел Фібоначчі, поліноми Люка ${\textstyle L_{n}(x)}$ є послідовністю многочленів, отриманою з чисел Люка.

Числа Люка є другою за поширеністю схемою у соняшників після чисел Фібоначчі, коли враховуються спіралі за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки, згідно з аналізом 657 соняшників у 2016 році.^[7]

• Майже ціле число
• Узагальнення чисел Фібоначчі

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Lucas polynomials, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W. Lucas Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Lucas Polynomial(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• "The Lucas Numbers", Dr Ron Knott
• Lucas numbers and the Golden Section
• A Lucas Number Calculator can be found here.
• послідовність A000032 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS