Неперервна функція

Непере́рвна фу́нкція — в математичному аналізі це функція, у якій малим змінам аргумента відповідають малі зміни значення функції. Це означає, що графік неперервної функції не має стрибків, тобто може бути накреслений «не відриваючи олівець від паперу».

Усі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі.

Функція ${\displaystyle f(x)}$ дійсної змінної, яка означена в області ${\displaystyle D\subseteq ℝ}$, неперервна в точці ${\displaystyle x_0\in D}$ якщо для довільного ${\displaystyle ϵ>0}$ знайдеться таке ${\displaystyle \delta >0}$ (яке залежить від ${\displaystyle ϵ}$), що з ${\displaystyle x\in D,|x-x_0|<\delta }$ випливає ${\displaystyle |f(x)-f(x_0)|<ϵ.}$

Функція ${\displaystyle f(x)}$ неперервна в області ${\displaystyle S\subseteq ℝ}$, якщо ${\displaystyle f(x)}$ неперервна в кожній точці цієї області.

Нехай ${\displaystyle A\subset ℝ,f:A\to ℝ,x_0}$ — гранична точка множини A.

Функція f називається неперервною в точці ${\displaystyle x_0}$ якщо:

1. функція f(x) визначена в точці x₀.
2. існує границя ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)}$
3. ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)}$.

Функція f називається неперервною в точці ${\displaystyle x_0}$ якщо:

${\displaystyle \mathrm{\forall }(ϵ>0)\mathrm{\exists }(\delta >0)\mathrm{\forall }x:|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-f(x_0)|<ϵ}$

Функція f називається неперервною в точці ${\displaystyle x_0}$ якщо:

${\displaystyle \mathrm{\forall }\{x_n\}:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x_0⟹\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=f(x_0)}$.

Якщо умова, що входить у визначення неперервності функції, в деякій точці порушується, то кажуть, що розглянута функція має в даній точці розрив. Інакше кажучи, якщо${\displaystyle A}$ —  значення функції ${\displaystyle f}$в точці ${\displaystyle a}$, то межа такої функції (якщо він існує) не збігається з ${\displaystyle A}$. Мовою околів умова розривності функції  ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle a}$ є запереченням умови неперервності розглянутої функції в даній точці, а саме: існує такий окіл точки ${\displaystyle A}$ в області значень функції ${\displaystyle f}$, що як би ми близько не підходили до точки ${\displaystyle a}$ в області визначення функції ${\displaystyle f}$завжди знайдуться такі точки, образи яких будуть за межами околу точки ${\displaystyle A}$.

Класифікація розривів функцій ${\displaystyle f:X\to Y}$залежить від того, як влаштовані множини X та Y. Далі наведено класифікацію для найпростішого випадку функції ${\displaystyle f:ℝ\to ℝ}$. Подібним чином класифікують і особливі точки  (точки, де функція не визначена).

Якщо функція має розрив в даній точці (тобто границя функції в даній точці відсутня або не збігається зі значенням функції в даній точці), то для числових функцій виникає два можливих варіанти, пов'язаних з існуванням у числових функцій односторонніх границь:

• якщо обидві односторонні границі існують і скінченні, то таку точку називають точкою розриву першого роду. До точок розриву першого роду відносять усувні розриви і стрибки.
• якщо хоча б одна з односторонніх границь не існує або не є скінченою величиною, то таку точку називають точкою розриву другого роду. До точок розриву другого роду відносять полюси і точки суттєвого розриву.

Якщо границя функції існує і скінченна, але функція не визначена в цій точці, або границя не збігається зі значенням функції в даній точці: ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)\ne f(a)}$, то точка ${\displaystyle a}$ називається точкою усувного розриву функції ${\displaystyle f}$ (в комплексному аналізі — усувна особлива точка). Якщо «виправити» функцію ${\displaystyle f}$ у точці усувного розриву і покласти ${\displaystyle f(a)=\underset{x\to a}{lim}f(x)}$, то вийде функція, неперервна в даній точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до неперервної або довизначенням функції за неперервністю, що і обґрунтовує назву точки, як точки усувного розриву.

Розрив «стрибок» виникає, якщо

${\displaystyle \underset{x\to a-0}{lim}f(x)\ne \underset{x\to a+0}{lim}f(x)}$.

Розрив «полюс» виникає, якщо одна з односторонніх границь нескінченна.

${\displaystyle \underset{x\to a-0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }}$ або ${\displaystyle \underset{x\to a+0}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }}$.

У точці суттєвого розриву одна з односторонніх границь взагалі відсутня.

Для функцій ${\displaystyle f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n}$ та ${\displaystyle f:ℂ\to ℂ}$ немає потреби працювати з точками розриву, але нерідко доводиться працювати з особливими точками (точками, де функція не визначена). Класифікація подібна.

• Якщо ${\displaystyle \mathrm{\exists }\underset{x\to a}{lim}f(x)}$, то це усувна особлива точка (аналогічно функції дійсного аргументу).
• Полюс визначається як ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }}$. В багатовимірних просторах, якщо модуль числа росте, вважається, що ${\displaystyle f(x)\to \mathrm{\infty }}$, яким шляхом б він не ріс.
• Якщо границя взагалі не існує, це суттєва особлива точка.

Поняття «стрибок» відсутнє. Те, що в ${\displaystyle ℝ}$ вважається стрибком, в просторах більших розмірностей — суттєва особлива точка.

• Функція, неперервна в точці ${\displaystyle a}$, є обмеженою в деякому околі цієї точки.
• Якщо функція ${\displaystyle f}$ неперервна в точці ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle f(a)>0}$ (або ${\displaystyle f(a)<0}$), то ${\displaystyle f(x)>0}$ (або ${\displaystyle f(x)<0}$) для всіх${\displaystyle x}$, досить близьких до ${\displaystyle a}$.
• Якщо функції ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle g}$ неперервні в точці ${\displaystyle a}$,то функції ${\displaystyle f+g}$ та ${\displaystyle f\cdot g}$ теж неперервні в точці ${\displaystyle a}$.
• Якщо функції ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle g}$ неперервні в точці ${\displaystyle a}$ і при цьому ${\displaystyle g(a)\ne 0}$, то функція ${\displaystyle f/g}$ теж неперервна в точці ${\displaystyle a}$.
• Якщо функція ${\displaystyle f}$ неперервна в точці ${\displaystyle a}$ та функція ${\displaystyle g}$ неперервна в точці ${\displaystyle b=f(a)}$, то їх композиція ${\displaystyle h=g\circ f}$ неперервна в точці ${\displaystyle a}$.

• Функція, неперервна на відрізку (або будь-якій іншій компактній множині), рівномірно неперервна на ньому.
• Функція, неперервна на відрізку (або будь-якій іншій компактній множині), обмежена і досягає на ній своє максимальне і мінімальне значення.
• Областю значень функції ${\displaystyle f}$, неперервної на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$, є відрізок ${\displaystyle [minf,maxf],}$ де мінімум і максимум беруться по відрізку ${\displaystyle [a,b]}$.
• Якщо функція ${\displaystyle f}$ неперервна на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ та ${\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,}$ то існує точка ${\displaystyle \xi \in (a,b),}$ в якій ${\displaystyle f(\xi )=0}$.
• Якщо функція ${\displaystyle f}$ неперервна на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ і число ${\displaystyle \phi }$ задовольняє нерівності ${\displaystyle f(a)<\phi <f(b)}$ або нерівності ${\displaystyle f(a)>\phi >f(b),}$ то існує точка ${\displaystyle \xi \in (a,b),}$ у котрій ${\displaystyle f(\xi )=\phi }$.
• Неперервне відображення відрізка в дійсну пряму ін'єктивне в тому і тільки в тому випадку, коли дана функція на відрізку строго монотонна.
• Монотонна функція на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ неперервна в тому і тільки в тому випадку, коли область її значень є відрізком з кінцями ${\displaystyle f(a)}$ та ${\displaystyle f(b)}$.
• Якщо функції ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ неперервні на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ , причому ${\displaystyle f(a)<g(a)}$ та ${\displaystyle f(b)>g(b),}$ то існує точка ${\displaystyle \xi \in (a,b),}$ в якій ${\displaystyle f(\xi )=g(\xi ).}$ Звідси, зокрема, випливає, що будь-яке неперервне відображення відрізка в себе має хоча б одну нерухому точку.

Вивчення топологічних властивостей неперервних функцій відбувається шляхом їх розшарування на гомотопічні класи, де кожний клас складається з функцій, які можуть неперервно деформуватися одна в одну. Нехай ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$ — топологічні простори, а ${\displaystyle f_0(x)}$ та ${\displaystyle f_1(x)}$ — неперервні функції, які відображають ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$. Відзначимо одиничний інтервал ${\displaystyle I}$ на дійсній прямій ${\displaystyle 0⩽t⩽1.}$ Тоді функції ${\displaystyle f_0(x)}$ та ${\displaystyle f_1(x)}$ є гомотопними, якщо існує неперервна функція ${\displaystyle F(x,t)}$, яка відображає ${\displaystyle X\times I}$ у ${\displaystyle Y}$, для якої ${\displaystyle F(x,0)=f_0(x),}$ а ${\displaystyle F(x,1)=f_1(x).}$ Неперервна функція ${\displaystyle F(x,t)}$, яка описує неперервну деформацію функції ${\displaystyle f_0(x)}$ у ${\displaystyle f_1(x)}$, називається гомотопією. Кожний гомотопічний клас характеризується степенем відображення ${\displaystyle n,}$ яку називають топологічним індексом. Усі функції, які відображають ${\displaystyle X}$ у ${\displaystyle Y}$, можна розбити на гомотопічні класи, такі, що дві функції належать одному класові, якщо вони є гомотопними.

Довільні многочлени, раціональні функції, показові функції, логарифми, тригонометричні функції (прямі і зворотні) неперервні скрізь у своїй області визначення.

Функція ${\displaystyle f:ℝ\to ℝ,}$ задається формулою

${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}}$

неперервна в будь-якій точці ${\displaystyle x\ne 0.}$ Точка ${\displaystyle x=0}$ є точкою усувного розриву, бо границя функції

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}f(x)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1\ne f(0).}$

функція

${\displaystyle f(x)=\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{cc}-1,& x<0\\ 0,& x=0\\ 1,& x>0\end{array},x\in ℝ}$

називається функцією знака.

Ця функція неперервна в кожній точці ${\displaystyle x\ne 0}$.

Точка ${\displaystyle x=0}$ є точкою розриву першого роду, причому

${\displaystyle \underset{x\to 0-}{lim}f(x)=-1\ne 1=\underset{x\to 0+}{lim}f(x)}$, в той час як в самій точці функція обертається в нуль.

Ступінчаста функція, яка визначається як

${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x⩾0\\ 0,& x<0\end{array},x\in ℝ}$

є всюди неперервна, крім точки ${\displaystyle x=0}$, де функція терпить розрив першого роду. Проте, в точці ${\displaystyle x=0}$ існує правобічна границя, яка збігається зі значенням функції в даній точці. Таким чином, дана функція є прикладом неперервної справа функції на всій області визначення.

Аналогічно, ступінчаста функція, яка визначається як

${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x>0\\ 0,& x⩽0\end{array},x\in ℝ}$

є прикладом неперервної зліва функції на всій області визначення.

функція

${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}}$

називається функцією Діріхле. По суті, функція Діріхле — це характеристична функція множини раціональних чисел. Ця функція є всюди розривною функцією, оскільки на кожному інтервалі існують як раціональні, так і ірраціональні числа.

функція

${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{n},& x=\frac{m}{n}\in \mathbb{Q},(m,n)=1\\ 0,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}}$

називається функцією Рімана або функцією Тома.

Ця функція є неперервною всюди у множині ірраціональних чисел (${\displaystyle ℝ\setminus \mathbb{Q}}$), оскільки границя функції в кожній точці дорівнює нулю.

Функція ${\displaystyle f}$ називається рівномірно неперервної на ${\displaystyle E}$, якщо для будь-якого ${\displaystyle \epsilon >0}$ існує ${\displaystyle \delta >0}$ таке, що для будь-яких двох точок ${\displaystyle x_1}$ і ${\displaystyle x_2}$ яких, що ${\displaystyle |x_1-x_2|<\delta }$, виконується ${\displaystyle |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon }$.

Кожна рівномірно неперервна на множині ${\displaystyle E}$ функція, очевидно, є також і неперервною на ньому. Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Однак, якщо область визначення — компакт, то неперервна функція виявляється також і рівномірно неперервною на даному відрізку.

Існує дві симетричні одна до одної властивості — напівнеперервна знизу і напівнеперервна зверху :

• функція ${\displaystyle f}$ напівнеперервна знизу в точці ${\displaystyle a}$, якщо для будь-якого ${\displaystyle \epsilon >0}$ існує такий окіл ${\displaystyle U_E(a)}$, що ${\displaystyle f(x)>f(a)-\epsilon }$ для будь-якого ${\displaystyle x\in U_E(a)}$;
• функція ${\displaystyle f}$ називається напівнеперервною зверху в точці ${\displaystyle a}$, якщо для будь-якого ${\displaystyle \epsilon >0}$ існує такий окіл точки ${\displaystyle U_E(a)}$, що ${\displaystyle f(x)<f(a)+\epsilon }$ для будь-якого ${\displaystyle x\in U_E(a)}$.

Між неперервністю і напівнеперервністю є такий зв'язок:

• якщо взяти функцію ${\displaystyle f}$, неперервну в точці ${\displaystyle a}$, і зменшити значення ${\displaystyle f(a)}$ (на скінченну величину), то отримаємо функцію, напівнеперервну знизу в точці ${\displaystyle a}$;
• якщо взяти функцію ${\displaystyle f}$, неперервну в точці ${\displaystyle a}$, і збільшити значення ${\displaystyle f(a)}$ на скінчеенну величину), то отримаємо функцію, напівнеперервну зверху в точці ${\displaystyle a}$.

Відповідно до цього можна допустити для напівнеперервних функцій нескінченні значення:

• якщо ${\displaystyle f(a)=-\mathrm{\infty }}$, то будемо вважати таку функцію напівнеперервною знизу в точці ${\displaystyle a}$;
• якщо ${\displaystyle f(a)=+\mathrm{\infty }}$,то будемо вважати таку функцію напівнеперервною зверху в точці ${\displaystyle a}$.

Функція ${\displaystyle f}$ називається односторонньо неперервною зліва (справа) в кожній точці ${\displaystyle x_0}$ її області визначення, якщо для односторонньої границі виконується рівняння: ${\displaystyle f(x_0)=\underset{x\to x_0-}{lim}f(x)}$ ${\displaystyle (f(x_0)=\underset{x\to x_0+}{lim}f(x)).}$

На дійсній прямій зазвичай розглядається проста лінійна міра Лебега. Якщо функція ${\displaystyle f}$ така, що вона неперервна всюди на ${\displaystyle E}$, крім, можливо, множини міри нуль, то така функція називається неперервною майже всюди.

У тому випадку, коли множина точок розриву функції не більше ніж зліченна, ми отримуємо клас інтегрованих за Ріманом функцій (див. Критерій інтегрованості функції за Ріманом).

• Теорема Больцано — Коші
• Лінійний неперервний оператор
• Абсолютна неперервність
• Простір неперервних функцій
• Принцип неперервності

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2026. — 2390 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2026. — 2538 с.(укр.)
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Неперервність функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 225. — 594 с.
• Функція неперервна // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Теза, 2006.