Точка зламу

Точка зламу або кутова точка — особлива точка кривої, яка має властивість, що гілки кривої, на які ця точка ділить початкову криву, мають у цій точці різні (односторонні) дотичні^[1][2]. Функція не є гладкою в даній точці.

Кажуть, що функція має точку зламу, якщо графік функції має точку зламу. Функція має точку зламу, якщо вона має різні праву і ліву похідні, тобто, виконується нерівність ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f^{'}(x)\neq \lim _{x\to x_{0}^{+}}f^{'}(x)}$ і хоча б одна з них скінченна (права або ліва границя не прямує до ${\displaystyle \pm \infty }$).

Точкою зламу функції ${\displaystyle y=f(x)}$ є критична точка першого роду в якій похідна функції має розрив (за винятком випадку нескінченних односторонніх похідних одного знака)^[3], тобто права і ліва похідні не збігаються. Точка зламу нерідко є точкою локального екстремуму, в тому випадку якщо похідні зліва і справа мають різні знаки.

функція ${\displaystyle y=|x|}$ є неперервною в точці (0,0). Похідна дорівнює ${\displaystyle y'=\operatorname {sgn}(x)}$, яка має розрив у точці (0,0). ${\displaystyle f'_{+}(0)=1;f'_{-}(0)=-1}$ — права і ліва похідні не збігаються. Таким чином точка (0,0) є точкою зламу функції.

• Касп
• Диференційовна функція

• Синцов Д.М. Диференціяльна геометрія. — Х.: : Радянська школа, 1931. — 272 с.(укр.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2026. — 2390 с.(укр.)