Дотична

У геометрії, доти́чна пряма́ (або просто доти́чна) до кривої в точці — пряма, яка проходить через точку кривої і збігається з нею в цій точці з точністю до першого порядку.

Кажучи загальними словами, дотична пряма — це пряма, що найкраще наближає криву в околі заданої точки. Можна дотичну пряму визначити, як граничне положення січної.

Евклід робив кілька посилань на дотичну (ἐφαπτομένη ephaptoménē) до кола в третій книзі «Начал» (бл. 300 р. до н. е.).^[1] У своєму творі «Конічні перетини» (бл. 225 р. до н. е.), Аполлоній визначає дотичну як таку пряму, що між нею і кривою не може лежати жодна інша пряма.^[2]

Архімед (бл. 287—212 до н. е.) знайшов дотичну до архімедової спіралі, розглядаючи шлях точки, що рухається по кривій.^[3]

У 1630-х роках П'єр Ферма розробив техніку для знаходження дотичних та розв'язування інших задач з диференціального та інтегрального числення й використав її для обчислення дотичних до параболи. Ця техніка подібна до того, як взяти різницю між f(x+h) і f(x) та поділити її на h. Незалежно від нього, Рене Декарт використовував свій метод нормалей, заснований на спостереженні, що радіус кола завжди перпендикулярний до дотичної кола в точці, до якої він проведений.^[4]

Ці методи призвели до розвитку диференціального числення в XVII столітті. Багато людей зробили свій внесок. Жиль де Роберваль знайшов загальний метод побудови дотичних, розглядаючи криву як таку, що описується рухомою точкою, рух якої є результатом кількох простіших рухів.^[5] Рене-Франсуа де Слуз та Йоганнес Гудде знайшли алгебраїчні алгоритми для пошуку дотичних.^[6] Подальші розробки включали роботи Джона Валліса та Ісаака Барроу, які використовувалися для створення теорії Ісаака Ньютона та Ґотфріда Ляйбніца.

У 1828 році дотична визначалася як «пряма лінія, яка дотикається до кривої, але при цьому не перетинає її».^[7] Це старе визначення не дозволяє точкам перегину мати дотичну. Від нього відмовилися, і сучасні визначення еквівалентні означенню Лейбніца, який визначив дотичну як пряму, що проходить через пару нескінченно близьких точок кривої; в сучасній термінології це виражається так: дотичною до кривої в точці P називається граничне положення січної, коли дві точки, в яких вона перетинає дану криву, прямують до точки P.

Якщо крива є графіком неперервно диференційовної функції f, тобто її можна задати рівнянням ${\displaystyle y=f(x),}$ то рівняння її дотичної в точці ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$ має наступний вигляд:

${\displaystyle y=f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}),}$

де ${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})}$ — значення похідної функції f у точці x₀. Причому ${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})}$ є кутовим коефіцієнтом даної дотичної.

Нехай крива задана неявно, а саме через рівняння ${\displaystyle F(x,y)=0,}$ причому в точці ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$ функція F має неперервні частинні похідні ${\displaystyle F_{x}}$ й ${\displaystyle F_{y}}$, значення яких в цій точці одночасно не дорівнюють нулю. Тоді рівняння її дотичної в точці P буде таким:

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})=0.}$

Якщо крива має регулярну параметризацію, тобто її можна задати вектор-функцією ${\displaystyle r(t)=(x(t),y(t)),}$ де x та y — неперервно диференційовні функції, і причому одночасно не дорівнюють нулю, то дотична в точці P, яка відповідає значенню параметра t = t₀, має наступне векторно-параметричне рівняння:

${\displaystyle R(t)=r(t_{0})+r^{\prime }(t_{0})\cdot t,}$

де ${\displaystyle r^{\prime }(t_{0})=(x^{\prime }(t_{0}),y^{\prime }(t_{0}))}$ — дотичний вектор кривої (напрямний вектор дотичної).

Якщо крива у просторі має регулярну параметризацію, то її аналогічно до кривої на площині можна задати вектор-функцією ${\displaystyle r(t)=(x(t),y(t),z(t)),}$ де x, y та z — неперервно диференційовні функції, які одночасно не дорівнюють нулю. Тоді дотична до цієї кривої в точці P, яка відповідає значенню параметра t = t₀, має векторно-параметричне рівняння ${\displaystyle R(t)=r(t_{0})+r^{\prime }(t_{0})\cdot t,}$ де ${\displaystyle r^{\prime }(t_{0})=(x^{\prime }(t_{0}),y^{\prime }(t_{0}),z^{\prime }(t_{0}))}$ — дотичний вектор кривої. Також ця дотична має таке канонічне рівняння:

${\displaystyle {\frac {x-x(t_{0})}{x^{\prime }(t_{0})}}={\frac {y-y(t_{0})}{y^{\prime }(t_{0})}}={\frac {z-z(t_{0})}{z^{\prime }(t_{0})}}.}$

Нехай крива задана неявно, тобто через систему рівнянь

${\displaystyle {\begin{cases}F(x,y,z)=0\\\Phi (x,y,z)=0\end{cases}},}$

де ${\displaystyle F}$ та ${\displaystyle \Phi }$ — неперервно диференційовні функції, для яких ${\displaystyle [\nabla F,\nabla \Phi ]\neq 0,}$ де квадратні дужки позначають векторний добуток, а ${\displaystyle \nabla F=(F_{x},F_{y},F_{z})}$ — градієнт функції F. Тоді дотична в точці ${\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})}$ задається наступною системою рівнянь:

${\displaystyle {\begin{cases}F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0\\\Phi _{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+\Phi _{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+\Phi _{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0\end{cases}}.}$

Причому ${\displaystyle T=[\nabla F,\nabla \Phi ](x_{0},y_{0},z_{0})}$ є напрямним вектором цієї дотичної. Звідси її канонічне рівняння має такий вигляд:

${\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{w_{1}}}={\frac {y-y_{0}}{w_{2}}}={\frac {z-z_{0}}{w_{3}}},}$

де w₁, w₂ та w₃ — координати вектора T.

Дотичною площиною до поверхні в точці ${\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})}$, де поверхню можна задати таким рівнянням ${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$ що F — неперервно диференційована функція, причому ${\displaystyle \nabla F\neq 0}$ в точці P, називається площина, яка утворена дотичними прямими до кривих, що лежать на поверхні та проходять через точку P.

Рівняння цієї площини має наступний вигляд:

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0.}$

Причому ${\displaystyle \nabla F}$ в точці P є напрямним вектором нормалі до дотичної площини.

Поняття дотичної можна узагальнити на довільний гладкий многовид. Дотичним простором до гладкого многовиду в деякій точці називається множина усіх дотичних векторів в цій точці. Причому ця множина утворює лінійний простір, розмірність якого дорівнює розмірності гладкого многовиду.

• Тригранник Френе
• Метод дотичних
• Стичне коло
• Стична площина

• Синцов Д.М. Аналітична геометрія. — Х.: : Радянська школа, 1931. — 212 с.(укр.)
• Синцов Д.М. Диференціяльна геометрія. — Х.: : Радянська школа, 1931. — 272 с.(укр.)
• Погорєлов О. В. Диференціальна геометрія. — 6. — Москва : Наука, 1974. — 176 с.(рос.)
• Борисенко, О. А. Аналітична геометрія: [Навч. посібник для університетів]. — Харків : Основа, 1993. — 192 с. — ISBN 5-7768-0002-7.
• Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — 304 с. — ISBN 5-7768-0388-8.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2026. — 2390 с.(укр.)
• О. Пришляк, Н. Лукова. Диференціальна геометрія та топологія. Курс лекцій. — 2012.
• Ямпольський О.Л. Диференціальна геометрія. Базовий курс лекцій. Архівовано з джерела 26 листопада 2019
• Величко І.Г., Гургєнідзе М.О., Стєганцева П.Г. Диференціальна геометрія кривих та поверхонь: Навчально-методичний посібник до індивідуальної та самостійної роботи для студентів II курсу математичного факультету. — Запоріжжя : ЗНУ, 2009. — 76 с. Архівовано з джерела 19 серпня 2019

• Дотична // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Теза, 2006.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Tangent line, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W. Дотична(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.